Vettori linearmente dipendenti e vettore nullo
Salve a tutti. Praticamente avevo un dubbio riguardo alla definizione di vettori linearmente dipendenti. Un vettore è linearmente dipendente se è ottenuto come combinazione lineare di altri vettori, con scalari non tutti nulli (almeno uno di essi quindi, diverso da 0). Questa è grosso modo la definizione. Adesso se io prendo 3 vettori, di cui uno è nullo, il rango di questi 3 vettori sarà 2 e non 1 perchè il vettore nullo viene considerato lineramente dipendente, ma per essere linermente dipendente deve essere ottenuto come combinazione lineare degli altri 2 vettori, cosa che non succede. Volevo chiedervi se il vettore nullo e linearmente dipendente per definizione oppure se sbaglio qualcosa nella comprensione. Grazie.
P.S. Un esempio anche stupido mi chiarirebbe le idee. Grazie ancora.
P.S. Un esempio anche stupido mi chiarirebbe le idee. Grazie ancora.
Risposte
"pitrineddu90":
Un vettore è linearmente dipendente se è ottenuto come combinazione lineare di altri vettori, con scalari non tutti nulli (almeno uno di essi quindi, diverso da 0). Questa è grosso modo la definizione.
No, non è la definizione. Dato un sistema di vettori ha senso chiedersi se un certo vettore è linearmente dipendente da tale sistema. La risposta è si qualora questo vettore si possa ottenere come combinazione lineare dei vettori del sistema.
Ti faccio notare che il vettore nullo dipende sempre da qualsiasi sistema: basta prendere scalari tutti nulli.
Se però questo è l'unico modo per ottenere il vettore nullo allora il sistema si dirà linearmente indipendente, altrimenti sarà linearmente dipendente.
Ad esempio, considera il sistema $ {(0,1),(0,3)} $, quanti modi hai di ottenere il vettore nullo come combinazione lineare di questo sistema?
Con questo sistema ottengo il vettore nullo moltiplicando per lo scalare nullo entrami i vettori.
Certo e questo è un modo. Però lo puoi ottenere anche così : $ 3(0,1)+(-1)(0,3)=(0,3)+(0,-3)=(0,0) $. Quindi il sistema non è linearmente indipendente; d'altronde ti bastava osservare che il vettore $(0,3)$ dipende linearmente dal vettore $(0,1)$.
Capito. Se ho ad esempio : $(0,0) (1,0) (0,1)$ è o meno linearmente dipendente ? Per me è linearmente dipendente, ma non so come ottenerlo come combinazione di scalari non tutti nulli.
Un sistema che contiene il vettore nullo è sempre dipendente perchè hai un vettore (in tal caso il vettore nullo) che dipende dagli altri due... ma secondo me non ti è chiara la definizione di sistema linearmente indipendente...
Sì. Nell'esempio che ti ho fatto io il vettore nullo non è ottenibile come combinazione degli altri 2. E per questo che ho chiesto che il vettore nullo è linearmente dipendente per definizione.
"pitrineddu90":
Nell'esempio che ti ho fatto io il vettore nullo non è ottenibile come combinazione degli altri 2.
e' ottenibile, te l'ho già detto prima, basta prendere la combinazione con gli scalari tutti nulli...
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