Vettori linearmente dipendenti

[pitrineddu90]

Allora sto incominciando geometria e mi è sorto un piccolo dubbio. Dei vettori possono essere o linearmente indipendenti o linearmente dipendenti. Non capisco una cosa. Se dei vettori sono linearmente indipendenti allora formano una base del sottospazio vettoriale di cui fanno parte ?
Grazie.

[Relegal]

No, non è detto. Dipende infatti dalla dimensione dello spazio vettoriale. Detta $n$ tale dimensione, trovati esattamente $n$ vettori linearmente indipendenti essi costituiranno una base.
$m$ vettori linearmente indipendenti ($m

Cita

Segnala

[pitrineddu90]

Sto facendo proprio ora un esercizio. Mi chiede di trovare una base del sottospazio. Prima però chiedeva se i vettori erano L.I.. Lo sono tutti e 3. Quindi, in questo caso, costituiscono una base del sottospazio, e la dimensione della base = dimensione sottospazio. Giusto ?

[mistake89]

Per definizione la dimensione del sottospazio è pari alla cardinalità di una sua base. Si prova ancora che quale che sia la base del sottospazio considerato, essa ha sempre la stessa cardinalità, ecco perché se ne può scegliere una arbitraria.

[pitrineddu90]

Si ho capito. Se è costituito da 3 vettori il sottospazio la base deve avere dimensione 3 e così via. Ma la mia domanda è : Se tutti i vettori del sottospazio sono L.I. allora formano una base del sottospazio di cui fanno parte ?

[mistake89]

Aspetta. Un sottospazio vettoriale, che è poi a sua volta uno spazio vettoriale, possiede infiniti vettori. La sua base invece ha cardinalità finita (sempre se assumiamo di voler parlare di spazio vettoriali di dimensione finita appunto!).
La definizione di base è un insieme di vettori che generano il sottospazio e sono linearmente indipendenti. Qualcuno direbbe un insieme minimale di generatori, ma che contenga il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.

Perciò dato un insieme di generatori di uno spazio $V$, una sua base sarà data da quei vettori tra questi che risultano linearmente indipendenti.

Faccio un paio di esempi così per chiarire meglio:
Se [tex]$U= \langle (1,0,0),(0,1,0) \rangle[/tex] essendo entrambi linearmente indipendenti siamo in presenza di una base. Pertanto il nostro sottospazio (di $RR^3$) avrà dimensione $2$.

Consideriamo invece ora [tex]$W= \langle (1,0,0),(2,0,0),(4,0,0) \rangle[/tex]. Si vede chiaramente che i tre vettori sono linearmente dipendenti. Pertanto il nostro spazio $W$ avrà come base [tex]\{(1,0,0)\}[/tex] e dimensione $1$, cioè il massimo numero di vettori linearmente indipendenti presenti tra i generatori di $W$.

Spero di essermi spiegato per bene e di aver risolto il tuo dubbio.

[pitrineddu90]

Sì. Quindi : la dimensione della base non è altro che il numero dei vettori linearmente dipendenti. I vettori della base sono i vettori linearmente dipendenti. Giusto come ragionamento ?

[mistake89]

Il contrario. Sono i vettori linearmente indipendenti. Ma devono generare lo spazio ovviamente.

In [tex]$\mathbb{R}^3[/tex] ad esempio, anche se [tex](1,0,0),(0,1,0)[/tex] sono linearmente indipendenti, non sono una base, perchè il vettore [tex](0,0,1)[/tex], che pure sta in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] non è esprimibile come loro combinazione lineare.

Il processo è facile in fin dei conti. Se hai un sistema di generatori estrai quelli linearmente indipendenti (anzi più precisamente il massimo numero di quelli linearmente indipendenti) ed hai una base del tuo spazio.

[pitrineddu90]

Adesso mi è tutto più chiaro. Quindi il numero dei vettori della base DEVE essere uguale alla dimensione del sottospazio stesso ?

[mistake89]

E'. Perchè è quella la definizione di dimensione!

[pitrineddu90]

Tutto torna. GRAZIE =)