Vettori Linearmente Dipendenti

[andrea.corzino]

Ciao.
Ho un dubbio riguardo alla dipendenza lineare di un insieme di vettori che spero qualcuno riesca a risolvermi

Andiamo per ordine:

innanzitutto sapevo che un insieme di vettori $ vecv_1,vecv_2,...vecv_n $ è Linearmente Dipendente se l'unica soluzione che rende vera la relazione:

$ lamda_1vecv_1+lambda_2vecv_2+...lamda_nvecv_n=vec0 $

è il vettore nullo, dove cioè TUTTE le $ lamda_i = 0 $.


Detto ciò ho sempre saputo che verificata la lineare dipendenza è possibile scrivere uno QUALSIASI di quei vettori come combinazione lineare degli altri.


Ora facendo un esercizio ciò non mi corrisponde:

i vettori sono:

$ v_1=(1,1,0) $
$ v_2=(0,0,2) $
$ v_3=(0,0,-3) $

ora ho verificato che i 3 vettori sono linearmente dipendenti in quanto esiste una soluzione diversa da quella banale....anzi ne esistono infinite (variano al variare di un parametro arbitrario).

Quindi ho pensato: proviamo ad esprimere un vettore qualsiasi di quelli come combinazione lineare dei restanti, e perciò ho provato a a fare:

$ v_1=lamda_2v_2+ lamda_3v_3 $

ho provato a risolvere il sistema per individuare i coefficienti $ lamda_2,lamda_3 $ che effettivamente mi permettono di esprimere il vettore come combinazioni dei restanti ma il sistema mi veniva impossibile nel senso che ottenevo una identità non identità (un numero uguale ad un altro numero per intenderci) e perciò il sistema aveva zero suluzioni.



Ora mi chiedo....c''è una qualche CONDIZIONE ULTERIORE che mi dice se posso esprimere un vettore come C.L dei restanti quando questi sono linearmente dipendenti??


GRAZIE!!

[andrea.corzino]

Ciao Sergio....a sto punto non so se sono io che ho sbagliato a leggere o cosa quando ho fatto questo argomento.


Comunque mi pare di aver capito.

esempio:

ho 3 vettori,verifico che sono realmente linearmente dipendenti.

Ad esempio se ottengo che:

$ lamda_1v_1+lamda_2v_2+lamda_3v_3 =vec0 $

e ottengo come risultati oltre alla soluzione banale,ad esempio $ lamda_1=0 $ , $ lamda_2=1/2 $ $ lamda_3=1 $

Allora posso esprimere ad esempio $ v_2 $ come C.L dei restanti sommando nell'espressione di verifica della lineare dipendenza(indiipendenza) ad ambo i membri l'opposto della somma $ lamda_1v_1+lamda_3v_3 $ o poi moltiplicando sempre ad ambo i membri per $ 1/(lamda_2) $

cioè:

$ lamda_1v_1+lamda_2v_2+lamda_3v_3-(lamda_1v_1+lamda_3v_3)=vec0-(lamda_1v_1+lamda_3v_3) $
$ lamda_2v_2=-lamda_1v_1-lamda_3v_3 $
$ lamda_2/(lamda_2)v_2=-lamda_1/(lamda_2)v_1-lamda_3/(lamda_2)v_3 $
$ v_2=alpha_1v_1+alpha_3v_3 $

e in tutto ciò il passo cruciale che mi dice se è possibile espriremere il vettore $ v_i $ come C.L dei restanti( a patto che si sia già verificato che siano l.dip)e quando divido tutto per $ lamda_i $ ...se $ lamda_i =0 $ ciò non è possibile e quindi non posso esprimere $ v_i $ come combinazione lineare dei restanti.


nel mio esempio volevo esprimere il vettre $ v_1 $ come cl dei restanti quando nell'espressione della verifica della lineare indipendenza/dipendenza esso aveva in modo univoco il coefficiente $ lamda_1=0 $
Corretto?
grazie ancora eh!

[andrea.corzino]

molto chiaro Sergio!!

infine per quanto riguarda il tuo ultimo esempio dei quattro vettori di $ R^4 $ volessi vedere in quell'insieme di vettori linearmente dipendente nel suo insieme il numero di vettori che sonolinearmente indipendenti tra loro mi basterebbe mettere quei vettori in matrice e calcolarne il rango...

il rango massimo possibile della matrice mi dice il numero di vettori L.I.
Poi ovvio in alcuni casi non c'è bisogno e come hai fatto tu li hai riconosciuti ad occhio...però la prassi è quella giusto?