Vettori linearmente dipendenti

[Mr.Mazzarr]

Svolgendo un esercizio mi sono trovato di fronte una situazione un po' paradossale, che vorrei risolvere con il vostro aiuto.

Devo studiare se questi tre vettori sono linearmente indipendenti:

$v_1 = (4,2,2)$
$v_2 = (5,0,1)$
$v_3 = (2,1,1)$

Detto cio, considero quei tre vettori come le tre righe di una matrice e ne studio il rango. In quanto se uno dipende dall altro ovviamente non saranno linearmente dipendenti.

Ecco, il determinante della matrice associata fa 0 ma a me sembra ovvio che la prima riga si possa eliminare sommandola alla terza moltiplicata per -2.

Le mie domande sono: come può il determinante portarmi a dire che il rango è 3 quando una riga la posso facilmente annullare tramite una trasformazione elementare? Il ragionamento per il calcolo della dipendenza lineare, è corretto?

Vi ringrazio per le future risposte!

[Clorinda1]

In generale vale la regola:
se il determinante è diverso da zero $\Leftrightarrow$ il rango della tua matrice è massimo $\Leftrightarrow$ le tre righe sono indipendenti.
Invece, se la matrice ha due righe proporzionali, il determinante è $0$.

Da quello che hai scritto tu, però, sembra che tu abbia in mente un'altra regola/teorema, discordante rispetto a quello che ho scritto io..

[Mr.Mazzarr]

A ecco, avevo un po' la memoria arrugginita!
Quindi sono due vettori dipendenti e uno tra il primo e il terzo è indipendente. Giusto?

[Clorinda1]

"Mr.Mazzarr":A ecco, avevo un po' la memoria arrugginita!
Quindi sono due vettori dipendenti e uno tra il primo e il terzo è indipendente. Giusto?

In questo modo stai dicendo che la matrice ha rango $2$.
In effetti puoi trovare una combinazione lineare di due vettori e lasciare invariato il terzo.
Scrivi una nuova matrice, non quadrata ovviamente, contenente i coefficenti della combinazione
lineare sulla prima riga e il terzo vettore sulla seconda. Poi verifichi che una riga non sia multipla dell'altra.

[Se ciò capitasse, invece, la matrice avrebbe rango $1$]