Vettori lin. indipendenti e dipendenti
Allora, riguarda il corso di Geometria 1
I vettori lin. dipendenti sono quelli con i vettori=0, quelli indipendenti sono quelli coi cofficienti =0....ciò affinchè entrambe le combinazioni lineari portino 0
mi chiedevo...quando si parla di basi, si sa che i vettori devono essere linearmente indipendenti....ma perchè?? cosa cambia??? anche se abbiamo dato le definizioni per i 2 tipi di vettori, perchè anche quando uso il metodo dello scarto o altro, scarto sempre i dipendenti e tengo gli indipendenti?? grazie in anticipo:D
I vettori lin. dipendenti sono quelli con i vettori=0, quelli indipendenti sono quelli coi cofficienti =0....ciò affinchè entrambe le combinazioni lineari portino 0
mi chiedevo...quando si parla di basi, si sa che i vettori devono essere linearmente indipendenti....ma perchè?? cosa cambia??? anche se abbiamo dato le definizioni per i 2 tipi di vettori, perchè anche quando uso il metodo dello scarto o altro, scarto sempre i dipendenti e tengo gli indipendenti?? grazie in anticipo:D
Risposte
Le definizioni non sono proprio espresse nel migliore dei modi, prova dirle meglio.
Quanto alla tua domanda, se ho ben capito, la risposta è nella definizione di Base. Cioè la Base per definizione è l'insieme massimale di vettori linearmente indipendente, ecco perchè si scartano quelli dipendenti tra i generatori.
Quanto alla tua domanda, se ho ben capito, la risposta è nella definizione di Base. Cioè la Base per definizione è l'insieme massimale di vettori linearmente indipendente, ecco perchè si scartano quelli dipendenti tra i generatori.
la mia domanda è proprio...perchè la base è l'insieme massimale dei vettori linearmente indipendenti e non di quelli dipendenti??
un esempio pratico??
un esempio pratico??
Non c'è una risposta se non nella definizione. Per definizione è quella.
Se poi vogliamo chiederci il perché, è perchè attraverso questo numero (minimo) di vettori puoi generare tutto lo spazio che intendi descrivere e sopratutto ti fornisce in modo univoco il modo di scrivere qualsiasi vettore come sue coordinate, identificandoli univocamente anche attraverso le coordinate.
Diversamente non sarebbe stato possibile.
Tra l'altro in questo modo puoi stabilire in modo univoco la dimensione di uno spazio vettoriale (che è fondamentale in quanto puoi dimostrare l'esistenza di un unico spazio vettoriale di dim $n$ a meno di isomorfismi)
Se poi vogliamo chiederci il perché, è perchè attraverso questo numero (minimo) di vettori puoi generare tutto lo spazio che intendi descrivere e sopratutto ti fornisce in modo univoco il modo di scrivere qualsiasi vettore come sue coordinate, identificandoli univocamente anche attraverso le coordinate.
Diversamente non sarebbe stato possibile.
Tra l'altro in questo modo puoi stabilire in modo univoco la dimensione di uno spazio vettoriale (che è fondamentale in quanto puoi dimostrare l'esistenza di un unico spazio vettoriale di dim $n$ a meno di isomorfismi)
ma se la base fosse stata l'insieme dei vettori lin. dipendenti cosa sarebbe andato storto??
Non sarebbe più stata unica la scrittura del vettore nullo, ad esempio.
A questo punto mi chiedo anche se avesse senso dire LA base e non UNA base 
Comunque è un problema che non si pone assolutamente!
Comunque è un problema che non si pone assolutamente!
forse inizio a capire 
.... detto papale papale sono tutte definizioni che all'inizio sono prese un po a caso ma poi sono utili per capire matrici, sistemi ecc?? no?
.... detto papale papale sono tutte definizioni che all'inizio sono prese un po a caso ma poi sono utili per capire matrici, sistemi ecc?? no?
Ma secondo me non sono affatto definizioni "prese un po' a caso". Anzi, in qualche modo sono intuitive e concordano con il senso comune.
Semplifico un po': una casa da che cosa è fatta? Da mattoni. Tu hai un sacco di mattoni a disposizione, ma sei in grado di costruire tutta la casa usandone solo 100: che cosa fai? Immagino che non usi 345 mattoni se te ne bastano 100 per lo stesso risultato, no?
Allo stesso modo, da che cosa è fatto uno spazio vettoriale? Da vettori. Tu hai infiniti vettori a disposizione, ma te ne bastano $n$ per costruire (più propriamente generare) tutto lo spazio. Quindi usi quegli $n$ vettore come base del tuo spazio.
Hai capito ciò che intendo?
Semplifico un po': una casa da che cosa è fatta? Da mattoni. Tu hai un sacco di mattoni a disposizione, ma sei in grado di costruire tutta la casa usandone solo 100: che cosa fai? Immagino che non usi 345 mattoni se te ne bastano 100 per lo stesso risultato, no?
Allo stesso modo, da che cosa è fatto uno spazio vettoriale? Da vettori. Tu hai infiniti vettori a disposizione, ma te ne bastano $n$ per costruire (più propriamente generare) tutto lo spazio. Quindi usi quegli $n$ vettore come base del tuo spazio.
Hai capito ciò che intendo?
sisi ho capito, dico che all'inizio perlomeno lo scopo di tutte queste definizioni è un po oscuro XD
Si, capisco che all'inizio possa sembrare oscuro; ma stai tranquillo che molto presto tutto ti risulterà più chiaro e semplice.
grazie comunque a tutti e 2 per le risposte:D
Prego, figurati.
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