Vettori isotropi, metodo di ricerca
Salve, c'è un metodo di ricerca dei vettori isotropi di un prodotto scalare alternativo al costruire:
$x^t A x = 0$ con x vettore generico e A matrice associata al prodotto scalare? perché questo metodo è lungo e doloroso. Qualcuno conosce un metodo, magari supportato dalla teoria, per cui si trovano più velocemente? grazie!
$x^t A x = 0$ con x vettore generico e A matrice associata al prodotto scalare? perché questo metodo è lungo e doloroso. Qualcuno conosce un metodo, magari supportato dalla teoria, per cui si trovano più velocemente? grazie!
Risposte
beh se hai il prodotto definito positivo o negativo hai finito, non ci sono non nulli.
Quindi bisogna supporre $A$ degenere, cioè con almeno un autovalore nullo.
A questo punto se $0$ è un autovalore allora l'autovettore $x$ soddisfa la setazione $Ax=0$, quindi $x^tAx=0$ in quanto puoi pensare ad $A$ come un operatore che agisce con il prodotto scalare standard e scrivere la relazione $\=0$ che essendo non degenere è nullo se $Ax=0$, e questo studio è meno pesante 
Sbaglio? (non è una domanda retorica)
curiosità : te dove studi?
Quindi bisogna supporre $A$ degenere, cioè con almeno un autovalore nullo.
A questo punto se $0$ è un autovalore allora l'autovettore $x$ soddisfa la setazione $Ax=0$, quindi $x^tAx=0$ in quanto puoi pensare ad $A$ come un operatore che agisce con il prodotto scalare standard e scrivere la relazione $
Sbaglio? (non è una domanda retorica)
curiosità : te dove studi?
Beh anche se il prodotto scalare non è definito, ad esempio ha indice di positività 3 e indice di negatività 2, possono esserci vettori isotropi, ed è quello il mio problema. Infatti $Ax=0$ mi fornisce una base di vettori che sono ortogonali a tutti i vettori, ma a me servono anche i vettori che sono ortogonali a se stessi... l'unico modo veloce che conosca è diagonalizzare la matrice del prodotto scalare e poi controllare subito (è una verifica quasi immediata $^txAx = 0$ quando si ha a che fare con matrici diagonali, però è comunque un percorso lungo trovare le matrici diagonali... scrivere $ = 0$ non è diverso da scrivere $ = 0$?
comunque studio all'università di Pisa, fisica generale.
comunque studio all'università di Pisa, fisica generale.
Giusto, comunque dipende cosa intendi, scrivere $$ devi dire cos'è il prodotto scalare che usi (in questo caso quello definito da $A$). se scrivi come ho fatto io $$ interpreti $A$ come un operatore simmetrico e $x$ come il prodotto scalare standard, in questo modo hai che, scritto in altri termini $\=x^tA^tx=x^tAx$ in quanto $A$ è simmetrica.
Quindi come ti ho detto io risolve in minima parte i tuoi problemi. Per cercare gli altri vettori metodi più veloci di quello che usi non me ne vengono in mente sul momento.
Se segui il mio ragionamento comunque avrai che puoi interpretare $A\in\End(V)$. Quindi $Ax=y$. Trasformi il problema nello stabilire quando $\=0$, con $<*,*>$ è il prodotto scalare standard $y^tUx$, con $U=id_V$. Però il problema non lo semplifichi molto... devi trovare le condizioni su $y$ affinchè stia nel complemento ortogonale di $x$. Una volta trovate le condizioni su $y$ puoi ripercorrere la strada all'indietro e ritrovare i vettori.
esempio1 (uso una matrice già diagonale così i calcoli sono più semplici): $A=[(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)]$. Fissiamo un vettore $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ hai che $Ax=(x_1,-x_2,-x_3,-x_4)$. Qunidi $(x_1,-x_2,-x_3,-x_4)((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=0=>x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2=0$ e ricavi $x_1$ in funzione delle altre tre.
esempio2: $A=[(1,2,0,0),(2,-1,0,3),(0,0,-1,0),(0,3,0,-1)]$ In questo caso $Ax=(x_1+2x_2,2x_1-x_2+3x_4,-x_3,3x_3-x_4)$ devi quindi valutare quando $(x_1+2x_2,2x_1-x_2+3x_4,-x_3,3x_3-x_4)((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=0$ che non ti aiuta. Come tempo computazionale il tuo modo è equivalente a questo.
Spero possa darti qualche spunto questo ragionamento, è l'unico che mi viene in mente ora.
Quindi come ti ho detto io risolve in minima parte i tuoi problemi. Per cercare gli altri vettori metodi più veloci di quello che usi non me ne vengono in mente sul momento.
Se segui il mio ragionamento comunque avrai che puoi interpretare $A\in\End(V)$. Quindi $Ax=y$. Trasformi il problema nello stabilire quando $
esempio1 (uso una matrice già diagonale così i calcoli sono più semplici): $A=[(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)]$. Fissiamo un vettore $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ hai che $Ax=(x_1,-x_2,-x_3,-x_4)$. Qunidi $(x_1,-x_2,-x_3,-x_4)((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=0=>x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2=0$ e ricavi $x_1$ in funzione delle altre tre.
esempio2: $A=[(1,2,0,0),(2,-1,0,3),(0,0,-1,0),(0,3,0,-1)]$ In questo caso $Ax=(x_1+2x_2,2x_1-x_2+3x_4,-x_3,3x_3-x_4)$ devi quindi valutare quando $(x_1+2x_2,2x_1-x_2+3x_4,-x_3,3x_3-x_4)((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=0$ che non ti aiuta. Come tempo computazionale il tuo modo è equivalente a questo.
Spero possa darti qualche spunto questo ragionamento, è l'unico che mi viene in mente ora.
Eh già, a quanto pare non sembra esserci un modo veloce per risolvere questo problema, a meno che non si diagonalizzi la matrice associata al prodotto scalare, cosa che può prendere molto tempo lo stesso. Ti ringrazio per l'aiuto!
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