Vettori isotropi in una base ortogonale
Ciao a tutti! 
Mi potrebbe essere utile qualche chiarimento su una questione... stavo guardando degli esercizi sulle forme bilineari simmetriche, in particolare quando viene richiesto di determinare una base ortogonale. Ora, ho notato che per la base si cercano sempre vettori non isotropi, e mi chiedevo...perchè??
Dopotutto, una base ortogonale è definita in modo che tutti i vettori di essa siano "perpendicolari" a due a due... cioè, se $B$ è la mia forma bilineare, mi basta avere che $B(v_i, v_j) = 0$ $ forall i != j$, giusto? Non c'è nessuna richiesta su quanto debba valere ogni $B(v_i,v_i)$, perchè non può essere 0? Ovvero, perchè non ci possono essere vettori isotropi?
Quindi, in una base ortogonale, quale delle tre condizioni è giusta?
a) non possono esserci vettori isotropi;
b) deve esistere almeno un vettore non isotropo;
c) i vettori possono anche essere tutti isotropi.
Mi sto intrecciando...
Mi potrebbe essere utile qualche chiarimento su una questione... stavo guardando degli esercizi sulle forme bilineari simmetriche, in particolare quando viene richiesto di determinare una base ortogonale. Ora, ho notato che per la base si cercano sempre vettori non isotropi, e mi chiedevo...perchè??
Dopotutto, una base ortogonale è definita in modo che tutti i vettori di essa siano "perpendicolari" a due a due... cioè, se $B$ è la mia forma bilineare, mi basta avere che $B(v_i, v_j) = 0$ $ forall i != j$, giusto? Non c'è nessuna richiesta su quanto debba valere ogni $B(v_i,v_i)$, perchè non può essere 0? Ovvero, perchè non ci possono essere vettori isotropi?
Quindi, in una base ortogonale, quale delle tre condizioni è giusta?
a) non possono esserci vettori isotropi;
b) deve esistere almeno un vettore non isotropo;
c) i vettori possono anche essere tutti isotropi.
Mi sto intrecciando...
Risposte
"MikyMate":
Ciao a tutti!
Mi potrebbe essere utile qualche chiarimento su una questione... stavo guardando degli esercizi sulle forme bilineari simmetriche, in particolare quando viene richiesto di determinare una base ortogonale. Ora, ho notato che per la base si cercano sempre vettori non isotropi, e mi chiedevo...perchè??
Dopotutto, una base ortogonale è definita in modo che tutti i vettori di essa siano "perpendicolari" a due a due... cioè, se $B$ è la mia forma bilineare, mi basta avere che $B(v_i, v_j) = 0$ $ forall i != j$, giusto? Non c'è nessuna richiesta su quanto debba valere ogni $B(v_i,v_i)$, perchè non può essere 0? Ovvero, perchè non ci possono essere vettori isotropi?
Quindi, in una base ortogonale, quale delle tre condizioni è giusta?
a) non possono esserci vettori isotropi;
b) deve esistere almeno un vettore non isotropo;
c) i vettori possono anche essere tutti isotropi.
Mi sto intrecciando...
La presenza di un vettore isotropo in una base ortogonale vorrebbe dire che la matrice riferita a quella base ha determinante nullo. Infatti con la condizione vettore isotropo e ortogonalità si ha $
Faccio notare che se prendi un vettore isotropo $v$ in una forma bilineare non degenere allora deve esistere un vettore $w$ tale che $
Quindi se prendi un vettore isotropo la matrice che crei non sarà diagonale (in altre parole la base non è ortogonale) a meno che la matrice non sia degenere e il vettore in questione non sia nel kernel della forma bilineare. E comunque in questo caso il vettore isotropo lo si prende alla fine quando devi costruire una base del kernel.
Esempio (banale e demenziale) a complementare l'intervento di vict: prendiamo in $RR^2$ la forma bilineare
$b((x_1, y_1); (x_2, y_2))=(x_1, y_1)((1, 0), (0, 0))((x_2), (y_2))$.
Il vettori $(1,0), (0,1)$ sono per essa una base ortogonale e $(0, 1)$ è isotropo. In corrispondenza di questo vettore la matrice associata alla forma bilineare ha una riga nulla.
$b((x_1, y_1); (x_2, y_2))=(x_1, y_1)((1, 0), (0, 0))((x_2), (y_2))$.
Il vettori $(1,0), (0,1)$ sono per essa una base ortogonale e $(0, 1)$ è isotropo. In corrispondenza di questo vettore la matrice associata alla forma bilineare ha una riga nulla.
Cavolo, avete ragione! 
Ora è tutto molto più chiaro...
Per fissare meglio le idee... c'è il teorema che dice che data una forma bilineare simmetrica, esiste certamente una base ortogonale.
Ora, non fa distizioni se questa forma debba essere degenere o no, infatti nella dimostrazione di cui dispongo vengono distinti due casi: se la forma è non degenere si dimostra per induzione usando il fatto che in questo caso esistono vettori non isotropi (con cui, per come mi avete detto, vado a costruirmi la base...) e che V è dato dalla somma diretta dello span(v) e dello span del suo perpendicolare.
Nel caso che la forma sia degenere, si va a completare una base v1..vk del radicale a una base vk+1....vn di V. In questo caso, la restrizione della mia forma allo span dei vettori vk+1...vn è non degenere (mi sapreste spiegare perchè?non mi è ben chiaro...), quindi posso ricondurmi al caso precedente.
Da cio deduco che nel caso degenere, i vettori isotropi nella base ci sono eccome! (visto che ogni vettore del radicale è in particolare isotropo...)
Ora è tutto molto più chiaro...
Per fissare meglio le idee... c'è il teorema che dice che data una forma bilineare simmetrica, esiste certamente una base ortogonale.
Ora, non fa distizioni se questa forma debba essere degenere o no, infatti nella dimostrazione di cui dispongo vengono distinti due casi: se la forma è non degenere si dimostra per induzione usando il fatto che in questo caso esistono vettori non isotropi (con cui, per come mi avete detto, vado a costruirmi la base...) e che V è dato dalla somma diretta dello span(v) e dello span del suo perpendicolare.
Nel caso che la forma sia degenere, si va a completare una base v1..vk del radicale a una base vk+1....vn di V. In questo caso, la restrizione della mia forma allo span dei vettori vk+1...vn è non degenere (mi sapreste spiegare perchè?non mi è ben chiaro...), quindi posso ricondurmi al caso precedente.
Da cio deduco che nel caso degenere, i vettori isotropi nella base ci sono eccome! (visto che ogni vettore del radicale è in particolare isotropo...)
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