Vettori isotropi

[emaz92]

"Si consideri il prodotto interno su $R^3$ così definito:$phi((x,y,z);(x',y',z'))= x(x)'-xy'-xz'-yx'+2yy'+yz'-zx'+zy'-zz'$, verificare che è privo di vettori isotropi".
Noto che ottenendo la matrice di Gram $((1,-1,-1),(-1,2,1),(-1,1,-1))$ i minori principali sono non singolari, infatti:$det(1)=1, det((1,-1),(-1,2))=1, det((1,-1,-1),(0,1,0),(0,0,-2))=-2$ quindi questo basterebbe per la tesi.....ma poi perchè se considero il vettore $v=(1,1,1)$ ad esempio, $phi(v,v)=0$? cioè, questa cosa non mi torna

[menale1]

"emaz92":"Si consideri il prodotto interno su $R^3$ così definito:$phi((x,y,z);(x',y',z'))= x(x)'-xy'-xz'-yx'+2yy'+yz'-zx'+zy'-zz'$, verificare che è privo di vettori isotropi".
Noto che ottenendo la matrice di Gram $((1,-1,-1),(-1,2,1),(-1,1,-1))$ i minori principali sono non singolari, infatti:$det(1)=1, det((1,-1),(-1,2))=1, det((1,-1,-1),(0,1,0),(0,0,-2))=-2$ quindi questo basterebbe per la tesi.....ma poi perchè se considero il vettore $v=(1,1,1)$ ad esempio, $phi(v,v)=0$? cioè, questa cosa non mi torna

Perché basterebbe per la tesi?

[emaz92]

da quello che so (poco perchè lo sto studiando da poco) se i determinanti dei minori principali di un prodotto interno sono diversi da zero allora lo stesso prodotto interno è privo di vettori isotropi

[emaz92]

nessuno saprebbe rimuovere questo dubbio?

[menale1]

Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.

[emaz92]

"menale":Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.

grazie, a quanto pare c' era un errore nel libro scritto dal mio professore di algebra lineare

[menale1]

"emaz92":[quote="menale"]Guarda ti conviene analizzare la segnatura per capire se ci sono dei vettori isotropi! Nel tuo caso la forma non è definita ne positiva ne negativa, quindi ci sono vettori isotropi.

grazie, a quanto pare c' era un errore nel libro scritto dal mio professore di algebra lineare[/quote]
Devo preoccuparmi?