Vettori isotropi
Salve a tutti,
Come si dimostra che se ho uno spazio vettoriale (su un campo di caratteristica diversa da 2), se un prodotto scalare è non nullo allora esiste sempre un vettore non isotropo? Sembra banale, ma ho il dubbio che non lo sia, perchè usa il fatto che la caratteristica del campo sia diversa da 2.
grazie in anticipo
Come si dimostra che se ho uno spazio vettoriale (su un campo di caratteristica diversa da 2), se un prodotto scalare è non nullo allora esiste sempre un vettore non isotropo? Sembra banale, ma ho il dubbio che non lo sia, perchè usa il fatto che la caratteristica del campo sia diversa da 2.
grazie in anticipo
Risposte
Il campo di base dev'essere algebricamente chiuso?, la dimensione dello spazio vettoriale è finita?
Il campo può non essere algebricamente chiuso, mentre la dimensione deve essere finita. Scusa se non sono stato preciso, giustamente è importante.
Ho provato a dimostrare che se in uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo (non necessariamente algebricamente chiuso) di caratteristica diversa da 2, se un prodotto scalare è non nullo, allora esiste un vettore non nullo e non isotropo.
Ho pensato alla'identità di polarizzazione: $\phi(v+w,v+w)=\phi(v,v) + \phi(w,w) + 2\phi(v,w)$, per ogni $v,w,\in V$, dove $\phi$ è un prodotto scalare su $V$.
Dim: Sia $\phi:V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ un prodotto scalare non nullo su V. Se per assurdo $\forall v \in V$ $\phi(v,v)=0 \Rightarrow \forall w \in V$ si avrà $2\phi(v,w)=0$ (dalla formula di polarizzazione), ma poichè $2\ne 0$, allora l'unica possibilità è che $\phi(v,w)=0$, allora ($\forall v,w \in V$) $\Rightarrow \phi=0$. Assurdo. (Non so se ho sbagliato qualcosa nella dimostrazione).
Mi rimane comunque un dubbio. Cosa succede quando la caratteristica è 2 (campo non necessariamente algebricamente chiuso)? Può succedere che NON esistono vettori NON isotropi in tutto lo spazio $V$ (di dimensione finita) secondo un certo prodotto scalare $\phi$ non nullo (magari degenere)? Potete farmi un esempio per favore?
Ho pensato alla'identità di polarizzazione: $\phi(v+w,v+w)=\phi(v,v) + \phi(w,w) + 2\phi(v,w)$, per ogni $v,w,\in V$, dove $\phi$ è un prodotto scalare su $V$.
Dim: Sia $\phi:V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ un prodotto scalare non nullo su V. Se per assurdo $\forall v \in V$ $\phi(v,v)=0 \Rightarrow \forall w \in V$ si avrà $2\phi(v,w)=0$ (dalla formula di polarizzazione), ma poichè $2\ne 0$, allora l'unica possibilità è che $\phi(v,w)=0$, allora ($\forall v,w \in V$) $\Rightarrow \phi=0$. Assurdo. (Non so se ho sbagliato qualcosa nella dimostrazione).
Mi rimane comunque un dubbio. Cosa succede quando la caratteristica è 2 (campo non necessariamente algebricamente chiuso)? Può succedere che NON esistono vettori NON isotropi in tutto lo spazio $V$ (di dimensione finita) secondo un certo prodotto scalare $\phi$ non nullo (magari degenere)? Potete farmi un esempio per favore?
Dove hai usato la finito-dimensionalità di \(\displaystyle\mathbb{V}\)?
Se il campo è \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), prova a utilizzare il prodotto scalare con matrice associata:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix};
\]
dovrebbe funzionare!
EDIT: Col mio esempio precedente non bastava prendere un campo di caratteristica \(\displaystyle2\) qualunque.
Se il campo è \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), prova a utilizzare il prodotto scalare con matrice associata:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix};
\]
dovrebbe funzionare!
EDIT: Col mio esempio precedente non bastava prendere un campo di caratteristica \(\displaystyle2\) qualunque.
"j18eos":
Dove hai usato la finito-dimensionalità di \(\displaystyle\mathbb{V}\)?
Se il campo è \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), prova a utilizzare il prodotto scalare con matrice associata:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix};
\]
dovrebbe funzionare!
EDIT: Col mio esempio precedente non bastava prendere un campo di caratteristica \(\displaystyle2\) qualunque.
Effettivamente hai ragione sulla finito-dimensionalità di $V$
. Ti volevo solo dare l'idea che il contesto in cui stavo lavorando. Quello di un corso di Algebra lineare... e poi te l'ho detto per risponderti. Il tuo esempio funziona in quanto tutti i vettori di $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ sono isotropi con quel prodotto scalare. Però è non degenere. Mi chiedevo se ne esistesse uno degenere che fa la stessa cosa... Magari non necessariamente nel campo $\mathbb{Z}_2$...
Prova col prodotto scalare dato dalla matrice simplettica:
\[
\Omega_n=\begin{pmatrix}
0_n^n & I_n^n\\
-I_n^n & 0_n^n
\end{pmatrix}.
\]
\[
\Omega_n=\begin{pmatrix}
0_n^n & I_n^n\\
-I_n^n & 0_n^n
\end{pmatrix}.
\]
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