Vettori e sottospazi vettoriali
"Verificare che in $RR^2$ i sottospazi vettoriali sono solo (oltre allo stesso $RR^2$ e a ${}$), gli insiemi dei punti delle rette passanti per l'origine."
Anzitutto buongiorno a tutti.
Ora, un sottoinsieme A è detto sottospazio vettoriale di $RR^n$ se il risultato di operazioni compiute su A è ancora un elemento di A. Questa è la definizione giusto?
Ma come fare per adempiere alla rchiesta? come rappresento l'insieme dei punti delle rette della forma $y=mx$? Forse è banale l'esercizio e cretina la mia domanda....
Grazie in anticipo e scusate ancora per il distrubo. Paolo
Anzitutto buongiorno a tutti.
Ora, un sottoinsieme A è detto sottospazio vettoriale di $RR^n$ se il risultato di operazioni compiute su A è ancora un elemento di A. Questa è la definizione giusto?
Ma come fare per adempiere alla rchiesta? come rappresento l'insieme dei punti delle rette della forma $y=mx$? Forse è banale l'esercizio e cretina la mia domanda....
Grazie in anticipo e scusate ancora per il distrubo. Paolo
Risposte
Una precisazione : il risultato di operazioni etc..
Quanto dici non si applica a qualunque operazione ma solo a:
* somma di elementi dell'insieme
*prodotto esterno = prodotto di un elemento del sottospazio per un numero reale( o complesso ) .
In generale si può dire che un sottospazio vettoriale è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto interno ( = combinazioni lineari degli elementi del sottospazio)
Una osservazione : un sottospazio contiene sempre l'elemento nullo .
Considera infatti un elemento qualunque del sottospazio , sia $ v $ ; il sottospazio deve essere chiuso per qualunque combinazione lineare dei suoi elementi .
Scegli questa : $ v+(-1)*v $ che dà il vettore nullo appunto.
Quanto dici non si applica a qualunque operazione ma solo a:
* somma di elementi dell'insieme
*prodotto esterno = prodotto di un elemento del sottospazio per un numero reale( o complesso ) .
In generale si può dire che un sottospazio vettoriale è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto interno ( = combinazioni lineari degli elementi del sottospazio)
Una osservazione : un sottospazio contiene sempre l'elemento nullo .
Considera infatti un elemento qualunque del sottospazio , sia $ v $ ; il sottospazio deve essere chiuso per qualunque combinazione lineare dei suoi elementi .
Scegli questa : $ v+(-1)*v $ che dà il vettore nullo appunto.
Se $y = mx$ allora il generico vettore dello spazio vettoriale considerato (che poi coincide con la retta) è della forma $((\alpha),(m \alpha))$ al variare di $\alpha$ con $m$ fissato.
Tale spazio dunque è della forma $\{(\alpha, m \alpha) \in \mathbb{R}^2 : \alpha \in \mathbb{R} \}$. Si vede, lo lascio a te come esercizio, che tale insieme è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplciazione per scalare.
EDIT: quando ho cominciato a scrivere non avevo visto ancora la tua risposta Camillo...
Tale spazio dunque è della forma $\{(\alpha, m \alpha) \in \mathbb{R}^2 : \alpha \in \mathbb{R} \}$. Si vede, lo lascio a te come esercizio, che tale insieme è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplciazione per scalare.
EDIT: quando ho cominciato a scrivere non avevo visto ancora la tua risposta Camillo...
"Paolo90":
Forse è banale l'esercizio e cretina la mia domanda....
Non direi proprio, considerando che hai 17 anni...
@ Camillo: grazie per la precisazione, hai perfettamente ragione.
@ Tipper: ok, grazie, ora ci sto quasi per arrivare. Correggimi se sbaglio:
Lo spazio considerato è della forma $\{(\alpha, m \alpha) in RR^2 : \alpha in RR}$. Per verificare che esso è un sottospazio considero:
1) la somma;
2) il prodotto per uno scalare.
Per il prodotto no problem, si vede che se moltiplico per un generico reale $k$ il vettore $(\alpha, m \alpha)$ ne ottengo uno dello stessa forma. Per la somma ho invece qualche dubbio: devo sommare due vettori del tipo considerato, giusto?
Cioè $h + k$, essendo $h=(\h, m \h)$ e $k=(\k, m \k)$, è $(\h+k, m \h+mk)=(\h+k, m \(h+k))$ cioè di nuovo un vettore della forma iniziale. Ne ho combinata qualcuna delle mie o è giusto?? vi ringrazio per l'aiuto...
Non direi proprio, considerando che hai 17 anni...[/quote]
grazie Tipper!!
@ Tipper: ok, grazie, ora ci sto quasi per arrivare. Correggimi se sbaglio:
Lo spazio considerato è della forma $\{(\alpha, m \alpha) in RR^2 : \alpha in RR}$. Per verificare che esso è un sottospazio considero:
1) la somma;
2) il prodotto per uno scalare.
Per il prodotto no problem, si vede che se moltiplico per un generico reale $k$ il vettore $(\alpha, m \alpha)$ ne ottengo uno dello stessa forma. Per la somma ho invece qualche dubbio: devo sommare due vettori del tipo considerato, giusto?
Cioè $h + k$, essendo $h=(\h, m \h)$ e $k=(\k, m \k)$, è $(\h+k, m \h+mk)=(\h+k, m \(h+k))$ cioè di nuovo un vettore della forma iniziale. Ne ho combinata qualcuna delle mie o è giusto?? vi ringrazio per l'aiuto...
"Tipper":
[quote="Paolo90"]Forse è banale l'esercizio e cretina la mia domanda....
Non direi proprio, considerando che hai 17 anni...[/quote]
grazie Tipper!!
"Paolo90":
Per il prodotto no problem, si vede che se moltiplico per un generico reale $k$ il vettore $(\alpha, m \alpha)$ ne ottengo uno dello stessa forma. Per la somma ho invece qualche dubbio: devo sommare due vettori del tipo considerato, giusto?
Cioè $h + k$, essendo $h=(\h, m \h)$ e $k=(\k, m \k)$, è $(\h+k, m \h+mk)=(\h+k, m \(h+k))$ cioè di nuovo un vettore della forma iniziale. Ne ho combinata qualcuna delle mie o è giusto?? vi ringrazio per l'aiuto...
Va bene, anche se volendo essere un pochino più precisi (i. e. senza dire 'vettori della stessa forma'), si potrebbe dire che per ogni $\lambda, \alpha \in \mathbb{R}$ sia $\beta = \lambda \cdot \alpha$, allora
$\lambda (\alpha, m \alpha) = (\lambda, m \lambda \alpha) = (\beta, m \beta)$ pertanto l'insieme considerato è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Stessa zolfa per la somma: per ogni $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$ sia $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$, allora
$(\alpha_1, m \alpha_1) + (\alpha_2, m \alpha_2) = (\alpha_1 + \alpha_2, m (\alpha_1 + \alpha_2)) = (\alpha_3, m \alpha_3)$ pertanto l'insieme è chiuso pure rispetto alla somma.
ok, ora è molto più chiaro e decisamente espresso meglio. Ti ringrazio davvero molto, Tipper... Pol
"Paolo90":
"Verificare che in $RR^2$ i sottospazi vettoriali sono solo (oltre allo stesso $RR^2$ e a ${}$), gli insiemi dei punti delle rette passanti per l'origine."
Chiaramente finora avete soltanto provato che ogni "retta passante per l'origine" e' un sottospazio di $RR^2$... l'esercizio chiedeva qualcosa in piu'.
"Sandokan.":
[quote="Paolo90"]"Verificare che in $RR^2$ i sottospazi vettoriali sono solo (oltre allo stesso $RR^2$ e a ${}$), gli insiemi dei punti delle rette passanti per l'origine."
Chiaramente finora avete soltanto provato che ogni "retta passante per l'origine" e' un sottospazio di $RR^2$... l'esercizio chiedeva qualcosa in piu'.[/quote]
Allora come si deve procedere?? ero convinto di essere alla fine....
Io direi "semplicemente":
${(1,0),(0,1)}$ è base di $RR^2$, quindi $dim RR^2=2$
dato $W$ sottospazio di $RR^2$: $0<=dimW<=2$
se $dimW=0$ abbiamo $W={0}$
se $dimW=2$ abbiamo tutto $RR^2$
l'unica alternativa è $dimW=1 <=> W= $ ove $v in W and v!=0$..
cioè quanto detto fin'ora
Precisazione pignola:
Dato $V$ spazio vettoriale
$W subset V$ si dice sottospazio se:
1)è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e prodotto con lo scalare
2)$0 in W$
oppure
Dato $V$ spazio vettoriale
$W!=O/ and W subset V$ si dice sottospazio se:
1)è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e prodotto con lo scalare
mi spiego: se supponi che sia non vuoto, allora sicuramente il vettore nullo appartiene ad esso (per quanto detto da Camillo), ma (è puramente un gioco formale di come preferisci definirlo, ma alla fine è lo stesso
) se non supponi già che sia non vuoto devi supporre che il vettore nullo vi appartenga.
boh, non so se sono chiaro
${(1,0),(0,1)}$ è base di $RR^2$, quindi $dim RR^2=2$
dato $W$ sottospazio di $RR^2$: $0<=dimW<=2$
se $dimW=0$ abbiamo $W={0}$
se $dimW=2$ abbiamo tutto $RR^2$
l'unica alternativa è $dimW=1 <=> W=
cioè quanto detto fin'ora
Precisazione pignola:
Dato $V$ spazio vettoriale
$W subset V$ si dice sottospazio se:
1)è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e prodotto con lo scalare
2)$0 in W$
oppure
Dato $V$ spazio vettoriale
$W!=O/ and W subset V$ si dice sottospazio se:
1)è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e prodotto con lo scalare
mi spiego: se supponi che sia non vuoto, allora sicuramente il vettore nullo appartiene ad esso (per quanto detto da Camillo), ma (è puramente un gioco formale di come preferisci definirlo, ma alla fine è lo stesso
) se non supponi già che sia non vuoto devi supporre che il vettore nullo vi appartenga.boh, non so se sono chiaro
ah, ok... in effetti non ci avevo pensato... grazie.
non ti preoccupare, sei stato chiaro ed esaustivo. Grazie ancora.
"Gaal Dornick":
boh, non so se sono chiaro
non ti preoccupare, sei stato chiaro ed esaustivo. Grazie ancora.
"Gaal Dornick":
se $dimW=0$ abbiamo l'insieme vuoto
Non proprio (come però dici dopo)...
ops, si: volevo dire $W={0}$ora correggo
Torniamo alla carica. Buongiorno a tutti. Nuovamente ho una questione di algebra lineare da risolvere e pertanto mi rivolgo a voi, sperando che avrete pazienza e voglia di aiutarmi. Si tratta della dimostrazione del
TEOREMA. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ avente una base di $n$ elementi. Allora si ha:
1. ogni insieme libero di elementi di $V$ (ndr: cioè ogni insieme formato da vettori di $V$ linearmente indipendenti) ha al più $n$ elementi;
2. ogni base di $V$ ha $n$ elementi e quindi tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi.
La dimostrazione che c'è sul mio libro (Lezioni di Matematica per Allievi Ingegneri, di Greco, Politecnico di Torino) mi lascia perplesso: è decisamente complessa
e fa uso di un lemma piuttosto complicato. C'è qualcuno che potrebbe postare la dimostrazione o suggerirmi un link in cui posso trovarla?
Vi ringrazio e vi saluto.
Paolo
TEOREMA. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ avente una base di $n$ elementi. Allora si ha:
1. ogni insieme libero di elementi di $V$ (ndr: cioè ogni insieme formato da vettori di $V$ linearmente indipendenti) ha al più $n$ elementi;
2. ogni base di $V$ ha $n$ elementi e quindi tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi.
La dimostrazione che c'è sul mio libro (Lezioni di Matematica per Allievi Ingegneri, di Greco, Politecnico di Torino) mi lascia perplesso: è decisamente complessa
e fa uso di un lemma piuttosto complicato. C'è qualcuno che potrebbe postare la dimostrazione o suggerirmi un link in cui posso trovarla? Vi ringrazio e vi saluto.
Paolo
Qui c'è una dimostrazione del fatto che le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità.
Per l'altro punto, ho trovato questa dimostrazione su una dispensa ripescata dal mio hard disk.
thanks a lot, Tipper... come al solito hai risolto i miei problemi... per fortuna che c'è Tipper... se no... grazie ancora amico...
Paolo
Paolo
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