Vettori (con risoluzione matriciale)
ripassando le matrici mi sono imbattuto in questo esercizio, vorrei sapere solo il procedimento in esercizi del genere.
nello spazio vettoriale $R^4$ sia dato il vettore $v=(1,h,1-h,0)$ , $(h in R)$.
stabilire per quale valore di h il vettore v appartiene al sottospazio W generato dai vettori
$v_1=(1,0,-1,1)
$ v_2=(0,1,1,0)
$v_3=(2,-1,0,0)$
nello spazio vettoriale $R^4$ sia dato il vettore $v=(1,h,1-h,0)$ , $(h in R)$.
stabilire per quale valore di h il vettore v appartiene al sottospazio W generato dai vettori
$v_1=(1,0,-1,1)
$ v_2=(0,1,1,0)
$v_3=(2,-1,0,0)$
Risposte
Se lo si può esprimere come loro combinazione lineare, no? Tutto allora si sposta sulla lineare dipendenza!
per verificare la lineare dipendenza devo vedere se il determinante è diverso da 0... ma il valore di h come lo ottengo
Per verificare la lineare dipendenza allora il determinante deve essere $0$ (cioè il rango non deve essere massimo!). Se fosse diverso da $0$ avresti che quei quattro vettori sono una base di $RR^4$ e quindi linearmente indipendenti.
Quando andrai a sviluppare il determinante otterrai un equazione dipendente da $h$ (presubilmente) risolvendola otterrai i valori di $h$ per i quali i $4$ vettori son dipendenti.
Quando andrai a sviluppare il determinante otterrai un equazione dipendente da $h$ (presubilmente) risolvendola otterrai i valori di $h$ per i quali i $4$ vettori son dipendenti.
$((1,0,-1,1),(0,1,1,0),(2,-1,0,0),(1,h,1-h,0))$
=-det $((0,1,1),(2,-1,0),(1,h,1-h))$ = - det $((0,1,1),(0,-1-2h,-2+2h),(1,h,1-h))$ = - det $((1,1),(-1-2h,-2+2h))$
= 2-2h+1+2h$!=$0
se i calcoli sono giusti..... così non risolvo nulla...
=-det $((0,1,1),(2,-1,0),(1,h,1-h))$ = - det $((0,1,1),(0,-1-2h,-2+2h),(1,h,1-h))$ = - det $((1,1),(-1-2h,-2+2h))$
= 2-2h+1+2h$!=$0
se i calcoli sono giusti..... così non risolvo nulla...
Come non risolvi nulla? Se i calcoli son giusti hai risolto! (Anche se ad occhio direi che c'è qualche errore!)
Semplicemente il determinante è indipendente da $h$ e vale sempre $3 ne 0$ per cui, al variare di $h$ quei vettori saranno sempre linearmente indipendenti.
Semplicemente il determinante è indipendente da $h$ e vale sempre $3 ne 0$ per cui, al variare di $h$ quei vettori saranno sempre linearmente indipendenti.
risolverebbe tutto, com dice giustamente mistake89, ma i calcoli sono sbagliati:
$- det ((1,1),(-1-2h,-2+2h)) = -( -2+2h+1+2h)=1-4h$
e chiaramente $1-4h != 0$ se e solo se $h != 1/4$
$- det ((1,1),(-1-2h,-2+2h)) = -( -2+2h+1+2h)=1-4h$
e chiaramente $1-4h != 0$ se e solo se $h != 1/4$
ah ok.... avevo errato con quel meno.... quindi adesso so che se ho h=1/4, esso appartiene al sottospazio, altrimenti il vettore risulterebbe base... ho capito bene?
"jollothesmog":
altrimenti il vettore risulterebbe base
questa frase non ha senso. sostituiscila con
"altrimenti i 4 vettori risulterebbero linearmente indipendenti"
ed è tutto ok.
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