Vettori
trovare un vettore v di $RR^3$ ortogonale ai vettori v1=(1,2,1) e v2=(1,0,1) e tale che ||v|| = 1
chi mi spiega come dovrei procedere?
grazie
chi mi spiega come dovrei procedere?
grazie
Risposte
ciao!
il vettore che cerchi lo puoi trovare risolvendo il prodotto vettoriale tra i due vettori dati e un vettore (x, y, z) qualsiasi: $|(1,2,1),(1,0,1),(x,y,z)|$ . Così trovi una relazione che lega le componenti del vettore (a me viene x=z).
Poi imponi che il modulo del vettore (dato dal quadrato delle 3 componenti) sia uguale a 1.
il vettore che cerchi lo puoi trovare risolvendo il prodotto vettoriale tra i due vettori dati e un vettore (x, y, z) qualsiasi: $|(1,2,1),(1,0,1),(x,y,z)|$ . Così trovi una relazione che lega le componenti del vettore (a me viene x=z).
Poi imponi che il modulo del vettore (dato dal quadrato delle 3 componenti) sia uguale a 1.
il risultato del prodotto vettoriale mi da 2x-2z o (x-z) perchè tu li uguagli??
dopo che ho il prodotto vettoriale che dovrei fare?
dopo che ho il prodotto vettoriale che dovrei fare?
allora... il determinante di quella matrice viene: -y -2z + 2x +y = 0. Le y si eliminano e si può semplificare per 2; quindi x = z.
Allora il vettore che cerchi avrà componenti (x, y, x); poichè il suo modulo deve essere 1, occorre che $x^2 + y^2 + x^2 = 1$. Allora $2x^2 + y^2 = 1$. Tra gli infiniti vettori che soddisfano questa relazioni, possiamo prendere, per semplicità, quello la cui x è nulla. Allora $y^2 = 1$ --> $y = 1$. Il vettore trovato è quindi (0, 1, 0). E se provi a sostituirlo nella matrice di partenza dovresti ottenere l'identità 0 = 0. Sono riuscito a spiegarmi?
EDIT: che imbecille... non ti ho detto che il determinante della matrice deve essere posto uguale a 0...
Allora il vettore che cerchi avrà componenti (x, y, x); poichè il suo modulo deve essere 1, occorre che $x^2 + y^2 + x^2 = 1$. Allora $2x^2 + y^2 = 1$. Tra gli infiniti vettori che soddisfano questa relazioni, possiamo prendere, per semplicità, quello la cui x è nulla. Allora $y^2 = 1$ --> $y = 1$. Il vettore trovato è quindi (0, 1, 0). E se provi a sostituirlo nella matrice di partenza dovresti ottenere l'identità 0 = 0. Sono riuscito a spiegarmi?
EDIT: che imbecille... non ti ho detto che il determinante della matrice deve essere posto uguale a 0...
non capisco in base a cosa prendi un vettore in cui la x è nulla
A caso... per semplicità di calcolo... ci sono infiniti vettori che rispettano $2x^2 + y^2 = 1$. Se prendi x = 0 in un attimo hai risolto il problema. Potresti prendere y = 0 e allora dovresti trovare una x tale che $2x^2 = 1$. Oppure potresti assegnare ad entrambe le variabili un valore diverso da 0.
Ma se l'unica condizione che hai è che il modulo sia uguale a 1... perchè complicarti la vita? anche se poni una variabile uguale a 0 hai comunque trovato un vettore ortogonale a v1 e v2 il cui modulo è 1...
Ma se l'unica condizione che hai è che il modulo sia uguale a 1... perchè complicarti la vita? anche se poni una variabile uguale a 0 hai comunque trovato un vettore ortogonale a v1 e v2 il cui modulo è 1...
ok..grazie mille
Salve 
Vorrei fare un po' di ordine: innanzitutto due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero (ed è su questa definizione - sulla quale spero siamo tutti d'accordo - che baserò il mio discorso).
Il vettore (0,1,0) indicato da gianlu87 non risolve il problema perché non è ortogonale a v1=(1,2,1) (il loro prodotto scalare è 2 e non zero). La condizione di ortogonalità rispetto a v1 e v2 si traduce nel fatto che il vettore (x,y,z) che cerchiamo debba essere tale che il suo prodotto scalare con v1 e v2 sia zero. Quindi (x,y,z)(1,2,1) = 0 = (x,y,z)(1,0,1). Tali condizioni si traducono nelle equazioni:
$x+2y+z=0$
$x+z=0$
Il generico vettore soluzione sarà dunque del tipo $(x,0,-x)$. Richiedere che abbia modulo 1 significa richiedere che $2x^2=1$, ovvero $x=sqrt{2}/2$ oppure $x=-sqrt{2}/2$. Quindi le uniche soluzioni sono $(sqrt{2}/2,0,-sqrt{2}/2)$ e $(-sqrt{2}/2,0,sqrt{2}/2)$.
Il procedimento che ha fatto gianlu87, a quanto mi pare di capire, serve a trovare un vettore di modulo uno complanare (e non ortogonale) a v1 e v2, ovvero appartenente al sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato da v1 e v2.
Vorrei fare un po' di ordine: innanzitutto due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero (ed è su questa definizione - sulla quale spero siamo tutti d'accordo - che baserò il mio discorso).
Il vettore (0,1,0) indicato da gianlu87 non risolve il problema perché non è ortogonale a v1=(1,2,1) (il loro prodotto scalare è 2 e non zero). La condizione di ortogonalità rispetto a v1 e v2 si traduce nel fatto che il vettore (x,y,z) che cerchiamo debba essere tale che il suo prodotto scalare con v1 e v2 sia zero. Quindi (x,y,z)(1,2,1) = 0 = (x,y,z)(1,0,1). Tali condizioni si traducono nelle equazioni:
$x+2y+z=0$
$x+z=0$
Il generico vettore soluzione sarà dunque del tipo $(x,0,-x)$. Richiedere che abbia modulo 1 significa richiedere che $2x^2=1$, ovvero $x=sqrt{2}/2$ oppure $x=-sqrt{2}/2$. Quindi le uniche soluzioni sono $(sqrt{2}/2,0,-sqrt{2}/2)$ e $(-sqrt{2}/2,0,sqrt{2}/2)$.
Il procedimento che ha fatto gianlu87, a quanto mi pare di capire, serve a trovare un vettore di modulo uno complanare (e non ortogonale) a v1 e v2, ovvero appartenente al sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato da v1 e v2.
Oppure in modo equivalente scrivere l'eq del piano per l'origine e per i punti v1 v2 ed imporre la condizione sul modulo.
"asciutt":
Oppure in modo equivalente scrivere l'eq del piano per l'origine e per i punti v1 v2 ed imporre la condizione sul modulo.
Non capisco perché..
il vettore (a,b,c) diverso da zero è ortogonale al piano ax+by+cz=0
"asciutt":
il vettore (a,b,c) diverso da zero è ortogonale al piano ax+by+cz=0
Quindi tu dici di prendere il piano individuato da v1 e v2, considerarne l'equazione, che sarà della forma ax+by+cz=0, quindi normalizzare il vettore (a,b,c).
Sono d'accordo.
"Martino":
[quote="asciutt"]il vettore (a,b,c) diverso da zero è ortogonale al piano ax+by+cz=0
Quindi tu dici di prendere il piano individuato da v1 e v2, considerarne l'equazione, che sarà della forma ax+by+cz=0, quindi normalizzare il vettore (a,b,c).
Sono d'accordo.[/quote]
il procedimento mi sa di perfettamene licito, il quanto il vettore che ha per "estremi" $(a,b,c)$ è ortogonale al piano...
"Domè89":
[quote="Martino"][quote="asciutt"]il vettore (a,b,c) diverso da zero è ortogonale al piano ax+by+cz=0
Quindi tu dici di prendere il piano individuato da v1 e v2, considerarne l'equazione, che sarà della forma ax+by+cz=0, quindi normalizzare il vettore (a,b,c).
Sono d'accordo.[/quote]
il procedimento mi sa di perfettamene licito, il quanto il vettore che ha per "estremi" $(a,b,c)$ è ortogonale al piano...[/quote]
Cosa vuoi dire? Anche a me sembra lecito.
Ragazzi in questo filone non sto capendo un post che sia uno
niente di che.. era solo epr dire che anche io sono d'accordo don il tuo procedimento...
anche se avrei usato la strada del prodotto sclare.. mi sebra meno macchinosa...
anche se avrei usato la strada del prodotto sclare.. mi sebra meno macchinosa...
"Martino":
Salve
Vorrei fare un po' di ordine: innanzitutto due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero (ed è su questa definizione - sulla quale spero siamo tutti d'accordo - che baserò il mio discorso).
Il vettore (0,1,0) indicato da gianlu87 non risolve il problema perché non è ortogonale a v1=(1,2,1) (il loro prodotto scalare è 2 e non zero). La condizione di ortogonalità rispetto a v1 e v2 si traduce nel fatto che il vettore (x,y,z) che cerchiamo debba essere tale che il suo prodotto scalare con v1 e v2 sia zero. Quindi (x,y,z)(1,2,1) = 0 = (x,y,z)(1,0,1). Tali condizioni si traducono nelle equazioni:
$x+2y+z=0$
$x+z=0$
Il generico vettore soluzione sarà dunque del tipo $(x,0,-x)$. Richiedere che abbia modulo 1 significa richiedere che $2x^2=1$, ovvero $x=sqrt{2}/2$ oppure $x=-sqrt{2}/2$. Quindi le uniche soluzioni sono $(sqrt{2}/2,0,-sqrt{2}/2)$ e $(-sqrt{2}/2,0,sqrt{2}/2)$.
Il procedimento che ha fatto gianlu87, a quanto mi pare di capire, serve a trovare un vettore di modulo uno complanare (e non ortogonale) a v1 e v2, ovvero appartenente al sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato da v1 e v2.
martino non capisco il tuo $2x^2 = 1$
"leffy13":
martino non capisco il tuo $2x^2 = 1$
Il vettore (x,0,-x) ha norma $sqrt{x^2+x^2} = sqrt{2x^2}$. Quindi il vettore (x,0,-x) ha norma 1 se e solo se $sqrt{2x^2} = 1$, ovvero $2x^2=1$.
ok..grazie mille
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