Vettori

[Mobility]

Devo trovare i vettori $n_1$ e $n_2$ normali ai piani:
$pi_1:2x-y-2z=0$
$pi_2:sqrt3x+2z-1=0$

Per trovare i due vettori devo forse trasformarle in forma parametrica?

[Megan00b]

Io farei così:
per il primo (il secondo è identico)
$pi_1$ è dato da $y=2x-2z$ quindi è generato ad esempio dai vettori $v_1=(1,2,0)$ e $v_2=(0,-2,1)$.
Tu cerchi un vettore $v=(a,b,c)$ ortogonale al piano, in particolare a due suoi vettori.
Allora imposti
${ =0, =0$ dove con <.,.> intendo il prodotto scalare.
Se ho fatto i conti bene ottieni (-2,1,2).

[Mobility]

"Megan00b":Io farei così:
per il primo (il secondo è identico)
$pi_1$ è dato da $y=2x-2z$ quindi è generato ad esempio dai vettori $v_1=(1,2,0)$ e $v_2=(0,-2,1)$.
Tu cerchi un vettore $v=(a,b,c)$ ortogonale al piano, in particolare a due suoi vettori.
Allora imposti
${ =0, =0$ dove con <.,.> intendo il prodotto scalare.
Se ho fatto i conti bene ottieni (-2,1,2).

Ehmm.
Pensavo invece di partire dalle componenti scalari di x,y,z
che sono per $pi_1 (2,-1,-2)$ cioè $n_1=2i-j-2k$ e per $pi_2 (sqrt3,0,2)$ cioè $n_2=sqrt3i+2k$

Devo poi calcolare l'angolo compreso tra $n_1$ ed $n_2$, ma ottengo un valore sballato:
tipo

$(2(sqrt3-2))/(3sqrt7)$ del quale calcolare l'arcos

Sto forse sbagliando qualcosa?

[gugo82]

"Mobility":Devo trovare i vettori $n_1$ e $n_2$ normali ai piani:
$pi_1:2x-y-2z=0$
$pi_2:sqrt3x+2z-1=0$

Per trovare i due vettori devo forse trasformarle in forma parametrica?

L'esercizio è facilissimo, proprio perchè i piani ti sono dati in equazione cartesiana.
Infatti, l'equazione cartesiana $pi:a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ (qui $a,b,c in RR$ ed $(x_0,y_0,z_0)$ è un qualunque punto di $pi$) esprime il fatto che il prodotto scalare dei due vettori di $(a,b,c),(x-x_0,y-y_0,z-z_0)in RR^3$ è nullo, onde i due vettori in questione sono ortogonali comunque si fissi $(x_0,y_0,z_0)$ sul piano e comunque si scelga di far variare $(x,y,z) in pi$. Ne consegue che il vettore $(a,b,c)$ è uno dei vettori normali a $pi:a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
Consideriamo il caso in cui l'equazione del piano $pi$ è data come $ax+by+cz+d=0$: dato che il termine noto $d$ dell'equazione può sempre essere espresso come $ax_0+by_0+cz_0$ con $(x_0,y_0,z_0) in pi$, sostituendo l'espressione di $d$ nell'equazione di $pi$ ci si riconduce al caso precedente.
In ogni caso puoi affermare che:

Assegnato un piano $pi subseteq RR^3$ individuato dall'equazione cartesiana $ax+by+cz+d=0$, un vettore $n_(pi)$ normale al piano è certamente il vettore dei coefficienti della "parte lineare" dell'equazione cartesiana, cioè $n_(pi)=(a,b,c)$.

Nel tuo caso hai:
1) $n_(pi_1)=(2,-1,-2)$ è normale a $pi_1$;
2) $n_(pi_2)=(sqrt3,0,2)$ è normale a $pi_2$.

Spero di esserti stato utile. Buono studio!

[Mobility]

"gugo82":[quote="Mobility"]Devo trovare i vettori $n_1$ e $n_2$ normali ai piani:
$pi_1:2x-y-2z=0$
$pi_2:sqrt3x+2z-1=0$

Per trovare i due vettori devo forse trasformarle in forma parametrica?

L'esercizio è facilissimo, proprio perchè i piani ti sono dati in equazione cartesiana.
Infatti, l'equazione cartesiana $pi:a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ (qui $a,b,c in RR$ ed $(x_0,y_0,z_0)$ è un qualunque punto di $pi$) esprime il fatto che il prodotto scalare dei due vettori di $(a,b,c),(x-x_0,y-y_0,z-z_0)in RR^3$ è nullo, onde i due vettori in questione sono ortogonali comunque si fissi $(x_0,y_0,z_0)$ sul piano e comunque si scelga di far variare $(x,y,z) in pi$. Ne consegue che il vettore $(a,b,c)$ è uno dei vettori normali a $pi:a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
Consideriamo il caso in cui l'equazione del piano $pi$ è data come $ax+by+cz+d=0$: dato che il termine noto $d$ dell'equazione può sempre essere espresso come $ax_0+by_0+cz_0$ con $(x_0,y_0,z_0) in pi$, sostituendo l'espressione di $d$ nell'equazione di $pi$ ci si riconduce al caso precedente.
In ogni caso puoi affermare che:

Assegnato un piano $pi subseteq RR^3$ individuato dall'equazione cartesiana $ax+by+cz+d=0$, un vettore $n_(pi)$ normale al piano è certamente il vettore dei coefficienti della "parte lineare" dell'equazione cartesiana, cioè $n_(pi)=(a,b,c)$.

Nel tuo caso hai:
1) $n_(pi_1)=(2,-1,-2)$ è normale a $pi_1$;
2) $n_(pi_2)=(sqrt3,0,2)$ è normale a $pi_2$.

Spero di esserti stato utile. Buono studio! [/quote]



Dimenticavo......

La seconda parte dell'esercizio mi chiede anche di trovare la forma parametrica relativa alla retta ottenuta dall'intersezione dei due piani(se esiste)

Metto i due piani a sistema


${(2x-y-2z=0), (sqrt 3x+2z=1):}$

sommo le due espressioni e ottengo:
$(2+sqrt3)x - y =1$ da cui $y=(2+sqrt3)x - 1$

che mi consente di scrivere il sistema come
${(z=(1-sqrt3x)/2), (y=(2+sqrt3)x - 1):}$

dove vedo che fissato x a piacere posso ottenere sia y che z.
per ottenere la forma parametrica posso imporre x=t

ed ottenere:
${(x=t),(z=(1-sqrt3t)/2), (y=(2+sqrt3)t - 1):}$

Il ragionamento fila??

[ELWOOD1]

Un altro metodo era quello di trovare il vettore direzione della retta ottenuto tramite il prodotto vettoriali tra le normali del piano, una volta ottenuto avresti scritto l'equazione della retta in forma parametrica o standard