Vettori
Scusate, può esistere un vettore con una componente infinita?
ad es. (0,00,0) (con 00 intendo infinito)
se ho una funzione espressa vettorialmente tipo:
x=t
y=1/t
z=0(
iperbole)
se pongo il limite di t che tende a zero avrò (0,00,0)
è corretto?
Grazie
Alex
ad es. (0,00,0) (con 00 intendo infinito)
se ho una funzione espressa vettorialmente tipo:
x=t
y=1/t
z=0(
iperbole)
se pongo il limite di t che tende a zero avrò (0,00,0)
è corretto?
Grazie
Alex
Risposte
no, non si può fare.
O, meglio, lo si può fare ma facendolo verrebbe distrutta la struttura algebrica dello spazio vettoriale, ed è proprio la struttura algebrica che rende interessanti ed utili gli spazi vettoriali
se definissi $x + oo = oo$, con $x$ vettore "normale", poi avresti problemi a fare la "sottrazione" di vettori, e mille altre difficoltà
e il problema non cambia se (in $RR^n$) fai questo discorso "coordinata per coordinata" (come tu ti stai chiedendo, mi pare)
ciò non toglie che si possano "aggiungere" elementi "infiniti" ad un insieme. Dipende dall'uso che se ne vuole fare (ricordo la compattificazione di Alexandrof di $RR$ che consiste nell'aggiungere "$oo$" ai numeri reali, in modo da avere, tra l'altro, uno spazio topologico compatto; gli spazi proiettivi; la compattificazione di $RR$ con l'aggiunta di 2 elementi, $-oo$ e $+oo$, usata in ottimizzazione).
Ma, ripeto, se serve la struttura di spazio vettoriale, non si può fare
ciao
O, meglio, lo si può fare ma facendolo verrebbe distrutta la struttura algebrica dello spazio vettoriale, ed è proprio la struttura algebrica che rende interessanti ed utili gli spazi vettoriali
se definissi $x + oo = oo$, con $x$ vettore "normale", poi avresti problemi a fare la "sottrazione" di vettori, e mille altre difficoltà
e il problema non cambia se (in $RR^n$) fai questo discorso "coordinata per coordinata" (come tu ti stai chiedendo, mi pare)
ciò non toglie che si possano "aggiungere" elementi "infiniti" ad un insieme. Dipende dall'uso che se ne vuole fare (ricordo la compattificazione di Alexandrof di $RR$ che consiste nell'aggiungere "$oo$" ai numeri reali, in modo da avere, tra l'altro, uno spazio topologico compatto; gli spazi proiettivi; la compattificazione di $RR$ con l'aggiunta di 2 elementi, $-oo$ e $+oo$, usata in ottimizzazione).
Ma, ripeto, se serve la struttura di spazio vettoriale, non si può fare
ciao
Grazie mille, ma allora significa che non posso esprimere vettorialmente la funzione? si possono esprime vettorialmente solo funzioni continue?
E come si può fare nel caso in cui si ha una curva non piana alla quale si deve calcolare la curvatura in un punto in cui questa (la curvatura) risulta infinita?...non si può definire il vettore normale e di conseguenza il piano osculatore?
Forse per la curvatura si può intendere il vesore normale moltiplicato per uno scalare 00?
Grazie ancora!
Alex
E come si può fare nel caso in cui si ha una curva non piana alla quale si deve calcolare la curvatura in un punto in cui questa (la curvatura) risulta infinita?...non si può definire il vettore normale e di conseguenza il piano osculatore?
Forse per la curvatura si può intendere il vesore normale moltiplicato per uno scalare 00?
Grazie ancora!
Alex
"Alexp":
ma allora significa che non posso esprimere vettorialmente la funzione? si possono esprime vettorialmente solo funzioni continue?
e perché? tu l'hai espressa, la funzione
aggiungo che la continuità non c'entra nulla in questo discorso. Mi sembra che tu voglia "definire" l'iperbole anche per $t=0$, ma non ce n'è bisogno!
"Alexp":
E come si può fare nel caso in cui si ha una curva non piana alla quale si deve calcolare la curvatura in un punto in cui questa (la curvatura) risulta infinita?...non si può definire il vettore normale e di conseguenza il piano osculatore?
Forse per la curvatura si può intendere il vesore normale moltiplicato per uno scalare 00?
sul piano osculatore mi taccio. Sono troppi anni che vivo beatamente senza dovermene (pre)occupare...
Ma ti rispondo a grandi linee, sul contesto di quello che chiedi.
- se tu sai già che la curvatura è infinita, non capisco perché la vuoi "calcolare"...
- per il tuo bene
, dimentica idee come quelle di moltiplicare cose "standard" (versore normale) con cose "esotiche" come "uno scalare $oo$"Ad esempio, esistono metodi per definire la retta tangente ad una curva di equazione $y=f(x)$ nel caso in cui il limite del rapporto incrementale sia infinito (e quindi non si può usare la derivata, visto che non c'è). Ma vanno gestiti con cautela.
Sempre "per il tuo bene", se mi posso permettere un consiglio, "dimentica" l'idea di usare $oo$ come se fosse un numero (l'unica eccezione a questa regola vale per i limiti, dove però $oo$ viene usato solo come "stenografia" per ricordare rapidamente i teoremi sui limiti: come quando si dice che $oo + 5 = oo$, $+oo * (-2) = - oo$, $1/oo = 0$ e compagnia cantante)
MI scuso per il tono paternalistico
Scusami ma allora (se ho capito bene) la funzione la posso esprimere vettorialmente ma non si può porre il limite della funzione (vettoriale) che tenda a zero (ovviamente parlo del caso dell'iperbole), giusto?
Per quanto riguarda la curvatura, se calcolandola in modo "standard" usando la formula di Frenet incappo in un punto in cui essa è infinita, non posso esprime il vettore normale?
(saprai sicuramente che se derivo la tangente unitaria ottengo un vettore pari alla curvatura moltiplicata per il versore normale, dunque nel caso di cuvatura infinta il vettore normale principale non esiste? eppure il mio dubbio è: dovrà pur avere una direzione la curvatura anche se infinita?)
Per quanto riguarda la curvatura, se calcolandola in modo "standard" usando la formula di Frenet incappo in un punto in cui essa è infinita, non posso esprime il vettore normale?
(saprai sicuramente che se derivo la tangente unitaria ottengo un vettore pari alla curvatura moltiplicata per il versore normale, dunque nel caso di cuvatura infinta il vettore normale principale non esiste? eppure il mio dubbio è: dovrà pur avere una direzione la curvatura anche se infinita?)
"Scusami ma allora (se ho capito bene) la funzione la posso esprimere vettorialmente ma non si può porre il limite della funzione (vettoriale) che tenda a zero (ovviamente parlo del caso dell'iperbole), giusto?"
tu hai una funzione da $RR - {0}$ a valori in $RR^3$ (ovvero, una rappresentazione parametrica di una curva nello spazio:
x=t
y=1/t
z=0
Geometricamente, hai una iperbole che giace nel piano $z=0$
Tu vuoi fare il limite per $t -> 0$. Puoi dire che i limiti delle tre coordinate sono, rispettivamente: $0$, $oo$ e $0$.
Volendo, come "stenografia" puoi sintetizzare questo come $(0,oo,0)$, se proprio vuoi farlo. Ma non ci guadagni niente, direi.
Sulle altre domande, relative alla curvatura, preferisco continuare il mio letargo...
tu hai una funzione da $RR - {0}$ a valori in $RR^3$ (ovvero, una rappresentazione parametrica di una curva nello spazio:
x=t
y=1/t
z=0
Geometricamente, hai una iperbole che giace nel piano $z=0$
Tu vuoi fare il limite per $t -> 0$. Puoi dire che i limiti delle tre coordinate sono, rispettivamente: $0$, $oo$ e $0$.
Volendo, come "stenografia" puoi sintetizzare questo come $(0,oo,0)$, se proprio vuoi farlo. Ma non ci guadagni niente, direi.
Sulle altre domande, relative alla curvatura, preferisco continuare il mio letargo...
Dunque sarebbe solo un problema di rappresentazione (stenografia) nel senso che se io non considero le tre componenti come un vettore, ma separatamente la cosa "quadra" ?
ribadisco quello che ho detto.
tu iniziavi così.
La risposta era che, se interessavano le proprietà algebriche dei vettori, non potevi farlo.
Come dicevo nel mio ultimo post, nulla ti vieta di considerare, sempre come stenografia, un "vettore" che abbia come componenti $oo$.
Anzi, un vettore (un "array") può avere le sue componenti (coordinate) fatte di tutto quello che vuoi.
Per esempio, un "record" di un database non è altro che un "array" di "campi". E nei campi ci puoi mettere numeri, segni alfanumerici, poesie, DVD, $oo$, la zia Giuseppina...
Tutto questo lo si può fare. Certo poi potrà risultare difficile fare la somma di due poesie.
Dopo di che, se c'è qualcuno che ha opinioni diverse, questo è per l'appunto un forum
ciao
"Alexp":
può esistere un vettore con una componente infinita?
tu iniziavi così.
La risposta era che, se interessavano le proprietà algebriche dei vettori, non potevi farlo.
Come dicevo nel mio ultimo post, nulla ti vieta di considerare, sempre come stenografia, un "vettore" che abbia come componenti $oo$.
Anzi, un vettore (un "array") può avere le sue componenti (coordinate) fatte di tutto quello che vuoi.
Per esempio, un "record" di un database non è altro che un "array" di "campi". E nei campi ci puoi mettere numeri, segni alfanumerici, poesie, DVD, $oo$, la zia Giuseppina...
Tutto questo lo si può fare. Certo poi potrà risultare difficile fare la somma di due poesie.
Dopo di che, se c'è qualcuno che ha opinioni diverse, questo è per l'appunto un forum
ciao
Ok......grazie mille!!!!
Il fatto è che questi sono situazioni particolari che i libri di testo non trattano perchè dovendo generalizzare l'argomento, si occupano solo di casi in cui la funzione vettoriale sia ovunque differenziabile e ovunque biregolare quindi, quando mi sono interrogato su come ci si possa comportare in situazioni diverse da quelle "standard" non ho saputo più che "pesci prendere"!
Sicuramente i casi particolari non si possono generalizzare e sono da studiare (o per lo meno da tentare di studiare) al momento a seconda del problema che si presenta!
Ciao
Alex
Il fatto è che questi sono situazioni particolari che i libri di testo non trattano perchè dovendo generalizzare l'argomento, si occupano solo di casi in cui la funzione vettoriale sia ovunque differenziabile e ovunque biregolare quindi, quando mi sono interrogato su come ci si possa comportare in situazioni diverse da quelle "standard" non ho saputo più che "pesci prendere"!
Sicuramente i casi particolari non si possono generalizzare e sono da studiare (o per lo meno da tentare di studiare) al momento a seconda del problema che si presenta!
Ciao
Alex
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