Vettore tangente varieta' immersa
Ciao,
un dubbio sul concetto di varieta' immersa (immersed submanifold) in particolare sulla condizione di differenziale (pushforward) iniettivo. Prendiamo ad esempio la seguente applicazione $RR rarr RR^2$ (pensati come varieta' differenziabili con la struttura standard):
$ x(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
$ y(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
Tale applicazione e' liscia ed iniettiva tuttavia il differenziale valutato al punto $t=\pi/2$ e' nullo. D'altra parte il rapporto $\frac {x(t)} {y(t)}$ e' sempre pari ad 1 per $ t \in (0,\pi)$. L'immagine dell'applicazione e' un segmento di retta dall'origine del piano al punto $(2,2)$.
Il dubbio e' il seguente: guardando il segmento di retta sembrerebbe che la tangente nel punto $(1,1)$ e' ben definita tuttavia il differenziale in quel punto e' nullo per cui l'immersione in quel punto mappa qualsiasi vettore nel vettore nullo.
Quale e' quindi il vettore tangente alla retta nel punto $(1,1)$ ? Grazie.
un dubbio sul concetto di varieta' immersa (immersed submanifold) in particolare sulla condizione di differenziale (pushforward) iniettivo. Prendiamo ad esempio la seguente applicazione $RR rarr RR^2$ (pensati come varieta' differenziabili con la struttura standard):
$ x(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
$ y(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
Tale applicazione e' liscia ed iniettiva tuttavia il differenziale valutato al punto $t=\pi/2$ e' nullo. D'altra parte il rapporto $\frac {x(t)} {y(t)}$ e' sempre pari ad 1 per $ t \in (0,\pi)$. L'immagine dell'applicazione e' un segmento di retta dall'origine del piano al punto $(2,2)$.
Il dubbio e' il seguente: guardando il segmento di retta sembrerebbe che la tangente nel punto $(1,1)$ e' ben definita tuttavia il differenziale in quel punto e' nullo per cui l'immersione in quel punto mappa qualsiasi vettore nel vettore nullo.
Quale e' quindi il vettore tangente alla retta nel punto $(1,1)$ ? Grazie.
Risposte
Bene; per chiarezza \(\Gamma\) è una curva liscia (di \(\mathbb{R}^2\)) che induce una struttura differenziabile su \(M\).
Se, invece, consideriamo \(M\) come sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\), si ha banalmente che \(i\) non può essere un embedding differenziabile, perché \((0,0)\) è un punto angoloso: ti torna tutto?
Se, invece, consideriamo \(M\) come sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\), si ha banalmente che \(i\) non può essere un embedding differenziabile, perché \((0,0)\) è un punto angoloso: ti torna tutto?
"j18eos":
Bene; per chiarezza \(\Gamma\) è una curva liscia (di \(\mathbb{R}^2\)) che induce una struttura differenziabile su \(M\).
ok, con la "procedura" che hai suggerito di fatto definiamo una struttura differenziabile sull'insieme astratto $M$ tale che la sua immagine tramite $f$ (ovvero la curva $\Gamma$) e' una smooth submanifold di \(\mathbb{R}^2\).
"j18eos":
Se, invece, consideriamo \(M\) come sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\), si ha banalmente che \(i\) non può essere un embedding differenziabile, perché \((0,0)\) è un punto angoloso: ti torna tutto?
Scusami...ma e' proprio questa la mia domanda !
La dimostrazione che propongo e' la seguente: supponiamo che $M$ sia una smooth submanifold di $\mathbb{R}^2$. Dalla definizione di smooth submanifold esiste una carta di $\mathbb{R}^2$ tale che in un intorno del punto $(0,0)$ l'insieme $M$ ha rappresentazione $(x,0)$. La restrizione di tale carta e' una carta (chiamiamola $\mathcal A$) della struttura differenziabile di $M$ per cui $i$ e' un embedding.
Consideriamo ora la rappresentazione dell'inclusione $i$ utilizzando la carta $\mathcal A$ e quella standard $(\mathbb{R}^2,\mathbb{I})$. Espressa in tali carte $i$ ha un punto angoloso per cui non e' differenziabile (non essendo differenziabile non puo' esser un embedding e da qui l'assurdo).
Torna ?
"cianfa72":
Consideriamo ora la rappresentazione dell'inclusione $i$ utilizzando la carta $\mathcal A$ e quella standard $(\mathbb{R}^2,\mathbb{I})$. Espressa in tali carte $i$ ha un punto angoloso per cui non e' differenziabile (non essendo differenziabile non puo' esser un embedding e da qui l'assurdo).
Potresti dire...e quale e' la differenza rispetto a prima ?
Secondo me la differenza e' che dalla definizione di smooth submanifold viene individuata la struttura differenziabile (una carta globale in questo caso) da attribuire all'insieme $M$ per cui esso stesso diventa una smooth manifold tale che l'inclusion map $i$ map e' un embedding.
Ora prendendo proprio questa carta e la carta standard di $\mathbb R^2$ la rappresentazione della inclusion map $i$ ha un punto angoloso e quindi non e' differenziabile (assurdo).
A parte che basta prendere una carta qualsiasi \((U,\cdot)\) tale che \((0,0)\in U\), in particolare un disco aperto di centro \((0,0)\) e l'identità di \(\mathbb{R}^2\) ristretta a tale disco; calcoli lo spazio tangente ad \(M\) nei suoi punti e...
Tutto ciò, è esattamente cosa che tu hai scritto di voler fare!
"j18eos":Fonte.
[...] Sappiamo che \(\displaystyle T_{i(x)}i(M)=\langle(1,1)\rangle\) se \(\displaystyle x>0\) e \(\displaystyle T_{i(x)}i(M)=\langle(1,-1)\rangle\) se \(\displaystyle x<0\); quindi, identificando \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\) con lo spazio delle \(\displaystyle\mathbb{R}\)-derivazioni di \(\displaystyle i(M)\) in \(\displaystyle i(0)\), avremmo che le "derivate" \(\displaystyle(1,1)\) e \(\displaystyle(1,-1)\) appartengono a \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\); da ciò \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\cong\mathbb{R}^2\), ovvero \(\displaystyle i(M)\) non è una varietà differenziabile!
Tutto ciò, è esattamente cosa che tu hai scritto di voler fare!
Scusami ma non sarebbe piu' corretto dire che \(<(1,1)>\) e \(<(1,-1)>\) sono i sottospazi vettoriali generati dai vettori \((1,1)\) e \((1,-1)\) elementi rispettivamente degli spazi vettoriali tangenti ai punti $i(x)$ di $\mathbb R^2$ (per $x>0$ e $x<0$ rispettivamente) ?
Perché io mi sono "ristretto" al grafico del valore assoluto! Pensaci un po' su...
"j18eos":Si certo, $i(M)$ e' essa stessa una smooth manifold di dimensione 1.
Perché io mi sono "ristretto" al grafico del valore assoluto! Pensaci un po' su...
La questione secondo me e' che una scrittura del tipo \(<(1,1)>\) coinvolge un vettore di componenti $(1,1)$ nella 'base coordinata' associata alle coordinate cartesiane in $\mathbb R ^2$ in un dato punto. Per questo motivo mi sembrava piu' appropriato parlare di sottospazi di spazi vettoriali tangenti a punti di $\mathbb R ^2$.
"cianfa72":Non lo è! Perché gli spazi tangenti hanno dimensione \(1\) ovunque, tranne in \((0,0)\) dove lo spazio tangente ha dimensione \(2\)!
[...]Si certo, $i(M)$ e' essa stessa una smooth manifold di dimensione 1.[...]
"j18eos":Ecco infatti questo punto non mi e' chiaro: con riferimento ad $i(M)$ nel punto $(0,0)$ direi che non esiste proprio lo spazio tangente, o sbaglio....
Perché gli spazi tangenti hanno dimensione \(1\) ovunque, tranne in \((0,0)\) dove lo spazio tangente ha dimensione \(2\)!
Forse sono io che ragione cogli spazi singolari, e quindi affermo che esiste... 
Ma dal punto di vista liscio: non esiste affatto!
Ma dal punto di vista liscio: non esiste affatto!
"j18eos":
Forse sono io che ragione cogli spazi singolari, e quindi affermo che esiste...
Quindi stai dicendo che lo spazio tangente nel punto $(0,0)$ di fatto esiste ed e' singolare.
Lascia stare gli spazi singolari...
Non esiste alcuna struttura di manifold sul grafico della funzione valore assoluto, indotta dall'inclusione in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) perché in \((0,0)\) lo spazio tangente dovrebbe avere dimensione \(2\) mentre altrove avrebbe dimensione \(1\): questo non è possibile per le manifolds!
Non esiste alcuna struttura di manifold sul grafico della funzione valore assoluto, indotta dall'inclusione in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) perché in \((0,0)\) lo spazio tangente dovrebbe avere dimensione \(2\) mentre altrove avrebbe dimensione \(1\): questo non è possibile per le manifolds!
"j18eos":
Non esiste alcuna struttura di manifold sul grafico della funzione valore assoluto, indotta dall'inclusione in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) perché in \((0,0)\) lo spazio tangente dovrebbe avere dimensione \(2\) mentre altrove avrebbe dimensione \(1\): questo non è possibile per le manifolds!
Cmq ho trovato questo esercizio svolto in rete che mi sembra in linea con quello che si diceva: https://www.math.arizona.edu/~izosimov/math534a/Submanifolds.pdf - Example 1.10.
Viene utilizzato il fatto che se esistesse un carta della struttura differenziabile di $\mathbb R^2$ "adattata" alla curva $M$ nel punto $(0,0)$ allora le derivate destra e sinistra della funzione coordinata coordinata $x_2 (x,y)=0$ composta con la funzione $t$ dovrebbero coincidere ed esser uguali a zero per $t \rightarrow 0$. Da qui ne deriva che $(x_1(),x_2())$ non puo' essere una carta della struttura differenziabile di $\mathbb R^2$ in un intorno del punto $(0,0)$.
Grazie.
Sì, è un'altra soluzione!
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