Vettore tangente varieta' immersa
Ciao,
un dubbio sul concetto di varieta' immersa (immersed submanifold) in particolare sulla condizione di differenziale (pushforward) iniettivo. Prendiamo ad esempio la seguente applicazione $RR rarr RR^2$ (pensati come varieta' differenziabili con la struttura standard):
$ x(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
$ y(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
Tale applicazione e' liscia ed iniettiva tuttavia il differenziale valutato al punto $t=\pi/2$ e' nullo. D'altra parte il rapporto $\frac {x(t)} {y(t)}$ e' sempre pari ad 1 per $ t \in (0,\pi)$. L'immagine dell'applicazione e' un segmento di retta dall'origine del piano al punto $(2,2)$.
Il dubbio e' il seguente: guardando il segmento di retta sembrerebbe che la tangente nel punto $(1,1)$ e' ben definita tuttavia il differenziale in quel punto e' nullo per cui l'immersione in quel punto mappa qualsiasi vettore nel vettore nullo.
Quale e' quindi il vettore tangente alla retta nel punto $(1,1)$ ? Grazie.
un dubbio sul concetto di varieta' immersa (immersed submanifold) in particolare sulla condizione di differenziale (pushforward) iniettivo. Prendiamo ad esempio la seguente applicazione $RR rarr RR^2$ (pensati come varieta' differenziabili con la struttura standard):
$ x(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
$ y(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
Tale applicazione e' liscia ed iniettiva tuttavia il differenziale valutato al punto $t=\pi/2$ e' nullo. D'altra parte il rapporto $\frac {x(t)} {y(t)}$ e' sempre pari ad 1 per $ t \in (0,\pi)$. L'immagine dell'applicazione e' un segmento di retta dall'origine del piano al punto $(2,2)$.
Il dubbio e' il seguente: guardando il segmento di retta sembrerebbe che la tangente nel punto $(1,1)$ e' ben definita tuttavia il differenziale in quel punto e' nullo per cui l'immersione in quel punto mappa qualsiasi vettore nel vettore nullo.
Quale e' quindi il vettore tangente alla retta nel punto $(1,1)$ ? Grazie.
Risposte
In altre parole: due parametrizzazioni diverse di un stessa curva (ovvero di un stessa immagine/traccia) con velocita' diverse in uno stesso punto sono di fatto 2 curve diverse ?
"Due parametrizzazioni della stessa curva sono da intendersi come curve diverse?" Sì!
Più formalmente non è vero che due parametrizzazioni siano necessariamente l'una la composta dell'altra con un *morfismo, dove *=omeo, diffeo.
Più formalmente non è vero che due parametrizzazioni siano necessariamente l'una la composta dell'altra con un *morfismo, dove *=omeo, diffeo.
"cianfa72":
... due parametrizzazioni diverse di un stessa curva ... sono di fatto 2 curve diverse?
Direi proprio di no.
"marco2132k":
Più formalmente non è vero che due parametrizzazioni siano necessariamente l'una la composta dell'altra con un *morfismo, dove *=omeo, diffeo.
Quindi, se capisco bene, nel caso in cui una parametrizzazione (2) e' la composta della parametrizzazione (1) attraverso un omeo/diffeomorfismo allora il vettore tangente ad ogni punto della (2) e' proporzionale al vettore tangente della (1) nel punto medesimo secondo un coefficiente variabile da punto a punto ma comunque $!=0$.
Quindi cambiando parametrizzazione possiamo di fatto cambiare il modulo del vettore tangente punto per punto (forse solo in un numero finito di punti...)
...sarà che sono stanco, e non ho capìto bene.
Con molti dubbi, propongo questo mio vecchio esercizio, nella invana speranza che possa aiutare.
Altrimenti lo si ignori...
Con molti dubbi, propongo questo mio vecchio esercizio, nella invana speranza che possa aiutare.
Altrimenti lo si ignori...
"j18eos":
propongo questo mio vecchio esercizio, nella invana speranza che possa aiutare.
Per evitare di "riesumare" quel thread continuo su questo.
\[ M=\{(x,|x|)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}\}, \\i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2 \]
Per dimostrare che $M$ non e' sottovarieta' differenziabile di $\mathbb R^2$ dobbiamo far vedere che l'inclusione (inclusion map) $i$ non e' embedding.
Come gia' detto in quel thread la topologia su $M$ e' necessariamente quella del sottospazio di $\mathbb R^2$ -- altrimenti la inclusion map $i$ non puo' essere omeomorfismo sull'immagine $i(M)$.
Ora il punto e': possiamo dotare $M$ di una struttura differenziabile tale che la inclusion map $i$ e' una immersione, ovvero:
\[ i:x\in M\to(x,|x|)\in\mathbb{R}^2\\ di:TM\to T\mathbb{R}^2 \]
con $di$ applicazione lineare tra spazi tangenti con rango costante pari a 1 ?
Non mi e' chiaro perche' in quel thread dici che $d_0i$ e' la mappa lineare nulla. Se su M prendiamo la struttura differenziabile standard di $R$ allora il differenziale di $i$ (ovvero l'applicazione lineare $di$) non e' neanche definita al punto $x=0$ ovvero $(0,0)$ di $\mathbb R^2$.
Sbaglio ?
Come scrissi alla riga successiva: è ciò che mi aspetterei se \(M\) fosse una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^2\); ma \(M\) non lo è!
"j18eos":
Come scrissi alla riga successiva: è ciò che mi aspetterei se \(M\) fosse una sottovarietà differenziabile di \(\mathbb{R}^2\); ma \(M\) non lo è!
ok per quel che riguarda la inclusion map.
Ma la domanda e': come facciamo ad escludere che si possa dotare $M$ di una struttura differenziabile (con la topologia standard di $\mathbb R$) tale che la inclusion map sia una immersione in $\mathbb R^2$ ?
"cianfa72":Non si può: sul grafico del valore assoluto puoi trasportare una struttura differenziabile a piacere; ma questi non sarà mai una sottovarietà differenziabile in \(\mathbb{R}^2\), a causa del punto angoloso. Poiché un embedding induce un diffeomorfismo tra il dominio e l'immagine, si ha che in questo caso non si può.
[...] come facciamo ad escludere che si possa dotare $ M $ di una struttura differenziabile (con la topologia standard di $ \mathbb R $) tale che la inclusion map sia una immersione in $ \mathbb R^2 $ ?
Devo chiarire qualche dettaglio?
"j18eos":Si, intuitivamente e' chiaro (ad es nella struttura differenziale standard di $\mathbb R$).
Non si può: sul grafico del valore assoluto puoi trasportare una struttura differenziabile a piacere; ma questi non sarà mai una sottovarietà differenziabile in \(\mathbb{R}^2\), a causa del punto angoloso.
"j18eos":
Poiché un embedding induce un omeomorfismo tra il dominio e l'immagine, si ha che in questo caso non si può.
Questo punto non mi e' chiaro: affinche' la inclusion map sia un omeomorfismo tra $M$ e la sua immagine in $\mathbb R^2$ (dotata della topologia del sottospazio di $\mathbb R^2$) allora $M$ come varieta' topologica deve essere necessariamente dotato esso stesso della topologia del sottospazio di $\mathbb R^2$. Da questo punto di vista, quindi, la topologia dell'insieme $M$ e' obbligata.
Ora perche' la inclusion map $i$ non puo' essere una immersione ? Una cosa e' fissare la topologia di $M$ altra la sua struttura differenziabile.
Calma: immersione ed embedding non sono sinonimi in inglese!
Ancóra: io ho ragionato cogli embeddings differenziabili, ovvero chiedendo che il dominio sia diffeomorfo all'immagine... chiaro fin qui?
Ancóra: io ho ragionato cogli embeddings differenziabili, ovvero chiedendo che il dominio sia diffeomorfo all'immagine... chiaro fin qui?
"j18eos":
Calma: immersione ed embedding non sono sinonimi in inglese!
Ancóra: io ho ragionato cogli embeddings differenziabili, ovvero chiedendo che il dominio sia diffeomorfo all'immagine... chiaro fin qui?
Si, in particolare l'immagine in $\mathbb R^2$ ha la topologia del sottospazio e come struttura differenziabile quella standard di $\mathbb R^2$.
Ma in questo modo di ragionare, l'insieme $M$ ha il ruolo di immagine dell'embedding ?
Scusami ho corretto questo messaggio click.
In breve: sul grafico \(M\) del valore assoluto puoi trasportare una qualsiasi struttura differenziabile da una curva \(\Gamma\) liscia qualsiasi, mediante una biezione \(f\); se l'inclusione \(i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2\) fosse un embedding allora si dovrebbe avere che \(\Gamma\) abbia un punto angoloso, e ciò sarebbe assurdo.
Ti torna tutto?
In breve: sul grafico \(M\) del valore assoluto puoi trasportare una qualsiasi struttura differenziabile da una curva \(\Gamma\) liscia qualsiasi, mediante una biezione \(f\); se l'inclusione \(i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2\) fosse un embedding allora si dovrebbe avere che \(\Gamma\) abbia un punto angoloso, e ciò sarebbe assurdo.
Ti torna tutto?
"j18eos":
sul grafico \(M\) del valore assoluto puoi trasportare una qualsiasi struttura differenziabile da una curva \(\Gamma\) liscia qualsiasi, mediante una biezione \(f\); se l'inclusione \(i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2\) fosse un embedding allora si dovrebbe avere che \(\Gamma\) abbia un punto angoloso, e ciò sarebbe assurdo.
Il ragionamento mi tornerebbe se la biezione $f$ fosse un diffeomorfismo tra l'immagine della curva liscia $\Gamma$ e l'insieme $M$ dotato della struttura differenziabile per cui assumiamo \(i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2\) essere un embedding (ovvero: la struttura differenziabile che trasportiamo tramite la biezione $f$ coincide con la struttura differenziabile per cui l'inclusione e' assunta essere un embedding ? )
Ps. Forse la risposta sta nel fatto che in dimensione 1 varietà omeomorfe sono sempre anche diffeomorfe. Quindi esiste sempre una biezione $f$ che e' un diffeomorfismo.
Torna ?
"cianfa72":Ecco il punto che non ti è chiaro: io considero \(M\) come insieme astratto (mi dimentico di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)); mediante la biezione \(f\) induco una struttura differenziabile su \(M\), e si dimostra che dopo tale trasporto \(f\) diventa un diffeomorfismo di varietà differenziabili.
[...] Il ragionamento mi tornerebbe se la biezione $f$ fosse un diffeomorfismo tra l'immagine della curva liscia $\Gamma$ e l'insieme $M$[...]
Ti è chiaro? Questo è il passaggio chiave di tutto il ragionamento!
"j18eos":
Ecco il punto che non ti è chiaro: io considero \(M\) come insieme astratto (mi dimentico di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)); mediante la biezione \(f\) induco una struttura differenziabile su \(M\), e si dimostra che dopo tale trasporto \(f\) diventa un diffeomorfismo di varietà differenziabili.
Ti è chiaro? Questo è il passaggio chiave di tutto il ragionamento!
Questo mi e' chiaro. Ma il punto e': la struttura differenziabile che viene indotta su $M$ come insieme astratto attraverso $f$, e' la stessa per cui l'inclusione e' assunta essere un embedding ?
In altre parole il ragionamento si basa sul fatto che l'inclusione sia un embedding e si fa vedere che da questo segue un assurdo. Ora, a priori, perche' la struttura differenziabile assunta per $M$ per cui l'inclusione e' un embedding dovrebbe essere proprio quella che viene indotta dalla biezione $f$ ?
"cianfa72":No, assolutamente no!
[...] Ma il punto e': la struttura differenziabile che viene indotta su $M$ come insieme astratto attraverso $f$, e' la stessa per cui l'inclusione e' assunta essere un embedding? [...]
Se chiamo
\[
f:M\to\Gamma,\,j:\Gamma\hookrightarrow\mathbb{R}^2
\]
le funzioni di cui sopra: \(j\circ f\) sarebbe un embedding di \(M\) in \(\mathbb{R}^2\). E questo ti è chiaro!
Quindi si avrebbe una struttura differenziale su \(M\) indotta dalla struttura differenziale di \(\mathbb{R}^2\) mediante una funzione, che poi risulta essere un embedding; ma non si riesce a indurre una struttura differenziale su \(M\) mediante "l'inclusione ovvia", perché c'è il punto angoloso!
Ti torna tutto?
"j18eos":
Se chiamo
\[
f:M\to\Gamma,\,j:\Gamma\hookrightarrow\mathbb{R}^2
\]
le funzioni di cui sopra: \(j\circ f\) sarebbe un embedding di \(M\) in \(\mathbb{R}^2\). E questo ti è chiaro!
Aspetta forse ho fatto confusione prima allora...$f$ e' una biezione tra l'insieme astratto $M$ e la curva liscia $\Gamma$. Attraverso $f^{-1}$ trasportiamo la struttura differenziabile presente su $\Gamma$ sulla varieta' topologica $M$. $f$ pertanto e' un diffeomorfismo con l'immagine ovvero con $\Gamma$.
D'altra parte poiche' $\Gamma$ per ipotesi e' liscia allora l'inclusione $j$ e' un embedding. Di conseguenza la composizione \(g = j\circ f\) e' anche esso un embedding tra $M$ ed $\mathbb R^2$. Spero fin qui tutto corretto...
"j18eos":
Quindi si avrebbe una struttura differenziale su \( M \) indotta dalla struttura differenziale di \( \mathbb{R}^2 \) mediante una funzione, che poi risulta essere un embedding;
Scusami...quale e' questa struttura differenziabile indotta su $M$ da quella di $\mathbb R^2$ ?
Ecco, ora ci siamo!
"cianfa72":È quella indotta tramite \(g\)!, in questo caso.
[...]quale e' questa struttura differenziabile indotta su $ M $ da quella di $ \mathbb R^2 $ ?
"j18eos":ok, quindi avremmo una struttura differenziabile su $M$ indotta tramite $g$ (o meglio $g^{-1}$) da quella standard di $\mathbb R^2$.
È quella indotta tramite \(g\)!, in questo caso.
Consideriamo ora l'inclusione ovvia \( i:M\hookrightarrow\mathbb{R}^2 \). Da un punto di vista intuitivo mi e' chiaro il problema del punto angoloso ma formalmente come facciamo a far vedere che non e' possibile indurre una struttura differenziabile su $M$ attraverso $i$ ?
ps scusami sono un po' di coccio ma non mi entra in testa questo aspetto....
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