Vettore tangente (siamo sicuri che per ogni esiste?)
Piccola premessa ai mod-
Avevo postato in geometria, però poi ho spostato di qui perché forse è più corretto metterlo in logica? Sono indeciso se sia un probelma di quantificatori o di non aver capito la geometria, secondo me più la prima.
In ogni caso chiedo @Martino che vedo essere mod di sezione se lo ritenesse più opportuno di scusarmi e spostarlo pure
grazie.
Ho un dubbio su una affermazione trovata sulle dispense del mio prof perché non mi sembra che dimosri una vera corrispondenza con larealtà dei fatti tra curva e velocità. queste roposizioni con "per ogni esiste" non mi sembrano collegare corretamente curve e vettori velocità.
Spiego brevemente il problema.
- il prof inizia a definire il "piano tangente" in $p=phi(u,v) $di una superficie come lo spazio generato dall'mmagine del differenziale della parametrizzazione: $T_pS=Im(dphi|_(u,v))$
- Poi dice: lo spazio tangente TpS coincide con l'insieme dei vettori velocità di curve $alpha$ per p.
Formalmente dice che ciò vuol dire che:
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
Quello che afferma, secondo mia interpretazine è che:
- $T_pS:={v}$ con v vettore tangente nel senso di immagine del differenziale
- $A:={dotalpha|∃alpha, ∃vin T_pS : dotalpha(0)=v}$
con le proposizioni sopra si dimostra che ${v}={dotalpha|∃alpha, ∃v : dotalpha(0)=v}$
infatti:
- preso $v in T_pS$ sappiamo dalla prima proposizione che esiste $alpha$ per cui $v=dotalpha(0)inT_pS$ e questa è la definizione di A cioè $v=dotalpha(0)inA$, quindi: $T_pS⊆A$
- di contro preso $dotalpha in A$ per definizione di tale insieme esistono $v$ e $alpha$ tali che $dotalpha(0)=v$ ma v è elemento di TpS quindi $dotalpha(0)=vin T_pS$ come volevo $A⊆T_pS$
Con le velocità siamo a posto, soggiunge però un problema nella relazione con le curve:
Disegnando gli insiemi è molto facile l'idea: mettiamo di avere un insieme A con 4 elementi "vettori tangenti", la prima proprietà dice che essi possono essere mandati con una freccia ad es. in 3 elementi di un insieme B delle curve (es. di 5 elementi). La prima proposizione rende conto di un caso in cui B sia costituito da 5 elementi ma che solo 3 siano raggiunti da una freccia che scocca dai 4 elementi di A.
Fatto questo si afferma, nella seconda, che ogni curva genera un vettore tangente tramite il suo vettore velocità. Questa proposizione non vieta che tutte queste 5 curve in B finiscono tramite frecce solo in un unico elemento di A: rispetta che per ogni $alpha$ la sua velocità sia in TpS infatti.
Quindi, per le due proposizioni questo può succedere, ma nella realtà dei fatti non è così, perché almeno le 3 curve viste sopra dovrebbero finire tramite freccia collegate ai 4 elementi iniziali presi in A.
Non mi sembra quindi rendere conto della relazione tra curve e vettori tangenti, come si risolve? Oppure, dove sbaglio, perché non lo capisco.
Inizialmente avevo scritto quanto qui sotto ma mi sembra più hiaro l'esempio concreto, lo lascio in spoiler anche se meno utile
Avevo postato in geometria, però poi ho spostato di qui perché forse è più corretto metterlo in logica? Sono indeciso se sia un probelma di quantificatori o di non aver capito la geometria, secondo me più la prima.
In ogni caso chiedo @Martino che vedo essere mod di sezione se lo ritenesse più opportuno di scusarmi e spostarlo pure
grazie.Ho un dubbio su una affermazione trovata sulle dispense del mio prof perché non mi sembra che dimosri una vera corrispondenza con larealtà dei fatti tra curva e velocità. queste roposizioni con "per ogni esiste" non mi sembrano collegare corretamente curve e vettori velocità.
Spiego brevemente il problema.
- il prof inizia a definire il "piano tangente" in $p=phi(u,v) $di una superficie come lo spazio generato dall'mmagine del differenziale della parametrizzazione: $T_pS=Im(dphi|_(u,v))$
- Poi dice: lo spazio tangente TpS coincide con l'insieme dei vettori velocità di curve $alpha$ per p.
Formalmente dice che ciò vuol dire che:
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
Quello che afferma, secondo mia interpretazine è che:
- $T_pS:={v}$ con v vettore tangente nel senso di immagine del differenziale
- $A:={dotalpha|∃alpha, ∃vin T_pS : dotalpha(0)=v}$
con le proposizioni sopra si dimostra che ${v}={dotalpha|∃alpha, ∃v : dotalpha(0)=v}$
infatti:
- preso $v in T_pS$ sappiamo dalla prima proposizione che esiste $alpha$ per cui $v=dotalpha(0)inT_pS$ e questa è la definizione di A cioè $v=dotalpha(0)inA$, quindi: $T_pS⊆A$
- di contro preso $dotalpha in A$ per definizione di tale insieme esistono $v$ e $alpha$ tali che $dotalpha(0)=v$ ma v è elemento di TpS quindi $dotalpha(0)=vin T_pS$ come volevo $A⊆T_pS$
Con le velocità siamo a posto, soggiunge però un problema nella relazione con le curve:
Disegnando gli insiemi è molto facile l'idea: mettiamo di avere un insieme A con 4 elementi "vettori tangenti", la prima proprietà dice che essi possono essere mandati con una freccia ad es. in 3 elementi di un insieme B delle curve (es. di 5 elementi). La prima proposizione rende conto di un caso in cui B sia costituito da 5 elementi ma che solo 3 siano raggiunti da una freccia che scocca dai 4 elementi di A.
Fatto questo si afferma, nella seconda, che ogni curva genera un vettore tangente tramite il suo vettore velocità. Questa proposizione non vieta che tutte queste 5 curve in B finiscono tramite frecce solo in un unico elemento di A: rispetta che per ogni $alpha$ la sua velocità sia in TpS infatti.
Quindi, per le due proposizioni questo può succedere, ma nella realtà dei fatti non è così, perché almeno le 3 curve viste sopra dovrebbero finire tramite freccia collegate ai 4 elementi iniziali presi in A.
Non mi sembra quindi rendere conto della relazione tra curve e vettori tangenti, come si risolve? Oppure, dove sbaglio, perché non lo capisco.
Inizialmente avevo scritto quanto qui sotto ma mi sembra più hiaro l'esempio concreto, lo lascio in spoiler anche se meno utile
Risposte
Capisco pochissimo di quanto scrivi, e le notazioni che usi sono strane e/o scorrette. Per esempio quando si scrive ${v}$ si intende un insieme con un unico elemento. E la tua definizione di $A$ è sbagliata perché non ti interessano le cose del tipo $dot(alpha)$, ti interessano le cose del tipo $dot(alpha)(0)$.
Comunque mi sembra che quello che ti crea confusione è il fatto che più curve possono dare luogo allo stesso vettore tangente in un fissato punto $P$. E quindi? Non vedo contraddizioni.
Sposto in geometria perché secondo me tutto questo ha poco a che fare con la logica.
Comunque mi sembra che quello che ti crea confusione è il fatto che più curve possono dare luogo allo stesso vettore tangente in un fissato punto $P$. E quindi? Non vedo contraddizioni.
Sposto in geometria perché secondo me tutto questo ha poco a che fare con la logica.
Ti ringrazio per lo spostamento, ero indeciso perché mi pareva più di incastrarmi nel discorso insiemistico.
In effetti ho usato male ${v}$ in realtà volevo prendere l'insieme dei vettori tangenti che chiamavo v, in modo più corretto intendevo ${v|v=dphi(w), w in RR^2}$. l'insieme delle immagini.
Detto questo volevo poi dimostrare la doppia inclusione per avere TpS=A, sfruttando le proposizioni date a lezione:
-1- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
-2- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
.
Poi spostavo la mia attenzione sul dubbio vero e proprio:
se io prendo puramente le due proposizioni della lezione, che ho ripostato sopra il quote, mi facevo la costruzione insiemistica molto semplice: prendo un insieme A di 4 elementi che chiamiamo "vettori tangenti", poi prendo B con 5 elementi che chiamo "curve".
La prima proposizione consente che io possa prendere i 4 elementi di A e collegarli uno a uno con 3 elementi di B.
La seconda propisizione consente il caso in cui posso prendere questi 5 elementi di B e mandarli con una freccia tutti in un unico vettore tangente in A (la proposizione infatti dice solo per ogni curva trovo un $dotalpha$ che è vettore tangente, e il mio esempio sottostà a queste condizioni ho trovato per ogni curva in B un vettore tangente, del fatto che sia unico questa proposizione se ne frega).
Ebbene, questa costruzione esiste ma sarebbe sbagliata, dato che in realtà il numero di $dotalpha$ che trovo a partire dagli elelementi di B deve essere pari al numero di vettori tangenti da cui ero partito all'inizio in A (questo dice la geometria), invece io qui sto dicendo (collegando le frecce in tal modo) che c'è solo un $dotalpha$.
Per questo dicevo che le due proposizioni non mi sembravano sufficienti a garantire questo discorso sulle curve.
Notazione: per semplicità e non tormentarmi con lo scriverlo sempre intendo: $dotalpha(0)=dotalpha$, le velocità delle curve sono sempre in zero.
PS_
In effetti ho usato male ${v}$ in realtà volevo prendere l'insieme dei vettori tangenti che chiamavo v, in modo più corretto intendevo ${v|v=dphi(w), w in RR^2}$. l'insieme delle immagini.
Detto questo volevo poi dimostrare la doppia inclusione per avere TpS=A, sfruttando le proposizioni date a lezione:
-1- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
-2- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
- preso $v in T_pS$ sappiamo dalla prima proposizione che esiste $alpha$ per cui $v=dotalpha(0)inT_pS$ e questa è la definizione di A cioè $v=dotalpha(0)inA$, quindi: $T_pS⊆A$questo era banalmente il discorso
- di contro preso $dotalpha in A$ per definizione di tale insieme esistono $v$ e $al
pha$ tali che $dotalpha(0)=v$ ma v è elemento di TpS quindi $dotalpha(0)=vin T_pS$ come volevo $A⊆T_pS$
.Poi spostavo la mia attenzione sul dubbio vero e proprio:
se io prendo puramente le due proposizioni della lezione, che ho ripostato sopra il quote, mi facevo la costruzione insiemistica molto semplice: prendo un insieme A di 4 elementi che chiamiamo "vettori tangenti", poi prendo B con 5 elementi che chiamo "curve".
La prima proposizione consente che io possa prendere i 4 elementi di A e collegarli uno a uno con 3 elementi di B.
La seconda propisizione consente il caso in cui posso prendere questi 5 elementi di B e mandarli con una freccia tutti in un unico vettore tangente in A (la proposizione infatti dice solo per ogni curva trovo un $dotalpha$ che è vettore tangente, e il mio esempio sottostà a queste condizioni ho trovato per ogni curva in B un vettore tangente, del fatto che sia unico questa proposizione se ne frega).
Ebbene, questa costruzione esiste ma sarebbe sbagliata, dato che in realtà il numero di $dotalpha$ che trovo a partire dagli elelementi di B deve essere pari al numero di vettori tangenti da cui ero partito all'inizio in A (questo dice la geometria), invece io qui sto dicendo (collegando le frecce in tal modo) che c'è solo un $dotalpha$.
Per questo dicevo che le due proposizioni non mi sembravano sufficienti a garantire questo discorso sulle curve.
Notazione: per semplicità e non tormentarmi con lo scriverlo sempre intendo: $dotalpha(0)=dotalpha$, le velocità delle curve sono sempre in zero.
PS_
E la tua definizione di A è sbagliata perché non ti interessano le cose del tipo α., ti interessano le cose del tipo α.(0)quesa cosa nn mi è chiara, mi pareva di aver definito A con le $dotα(0)$ non con le $dotalpha$
Non ho proprio capito, allora: hai 4 vettori tangenti (insieme $A$) e 5 curve (insieme $B$), poi ogni vettore di $A$ lo associ a 3 curve? Cioè preso $v in A$ tu dici che ci sono 3 curve in $B$ che hanno $v$ come vettore tangente in $0$.
Ma per quale motivo i vettori di $A$ sono tangenti a curve in $B$? Lo stai assumendo come ipotesi? Inoltre il fatto che il vettore tangente in $0$ a una curva in $B$ è un vettore di $A$ è un'altra ipotesi? Assumendo che la risposta a queste domande sia sì, è ovvio che non può succedere che un vettore in $A$ è tangente a $3$ curve in $B$, perché se così fosse, le altre due curve di $B$ darebbero luogo al massimo a due vettori tangenti, totalizzando $1+2=3$ vettori tangenti, cioè meno di quelli necessari, dato che $A$ ne ha $4$.
Scriviamo $A={v_1,v_2,v_3,v_4}$ e $B={alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4,alpha_5}$. Facciamo un esempio di quello che può succedere:
$dot(alpha_1)(0)=v_1$
$dot(alpha_2)(0)=v_1$
$dot(alpha_3)(0)=v_2$
$dot(alpha_4)(0)=v_3$
$dot(alpha_5)(0)=v_4$
In questo esempio il vettore $v_1$ è tangente a due curve di $B$ (cioè $alpha_1$ e $alpha_2$), il vettore $v_2$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_3$), il vettore $v_3$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_4$), il vettore $v_4$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_5$). Dov'è la contraddizione? Non vedo contraddizioni.
Ma per quale motivo i vettori di $A$ sono tangenti a curve in $B$? Lo stai assumendo come ipotesi? Inoltre il fatto che il vettore tangente in $0$ a una curva in $B$ è un vettore di $A$ è un'altra ipotesi? Assumendo che la risposta a queste domande sia sì, è ovvio che non può succedere che un vettore in $A$ è tangente a $3$ curve in $B$, perché se così fosse, le altre due curve di $B$ darebbero luogo al massimo a due vettori tangenti, totalizzando $1+2=3$ vettori tangenti, cioè meno di quelli necessari, dato che $A$ ne ha $4$.
Scriviamo $A={v_1,v_2,v_3,v_4}$ e $B={alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4,alpha_5}$. Facciamo un esempio di quello che può succedere:
$dot(alpha_1)(0)=v_1$
$dot(alpha_2)(0)=v_1$
$dot(alpha_3)(0)=v_2$
$dot(alpha_4)(0)=v_3$
$dot(alpha_5)(0)=v_4$
In questo esempio il vettore $v_1$ è tangente a due curve di $B$ (cioè $alpha_1$ e $alpha_2$), il vettore $v_2$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_3$), il vettore $v_3$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_4$), il vettore $v_4$ è tangente a una curva di $B$ (cioè $alpha_5$). Dov'è la contraddizione? Non vedo contraddizioni.
Alle domande che hai posto è tutto sì. Intendevo quelle cose e ipotizzavo quanto dici. Da quello volevo poi mostrarmi che il mio esempio non rispettava le proposizioni. Mi spiego:
Il punto che mi confonde è:
Le proposizioni
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
mi permettono di dimostrare che $T_pS$ visto come insieme delle immagini del differenziale è uguale a ${dotalpha|∃alpha, ∃v : dotalpha(0)=v}:=M$
quindi da quelle due proposizioni iniziali/informazioni date io deduco che il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M.
Poi riprendo di nuovo quelle due proposizioni e prendo il mio controesempio con gli insiemi A e B finiti suddetti.
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
e dico: la prima dice che per ogni $v$ trovo un $alpha$ quindi posso ipotizzare di mandare 4 elementi di A in 3 di B.
la seconda dice che per ogni $alpha$ esiste un $dotalpha=vinT_pS$, quindi posso prendere tutti e 5 gli elementi di B e mandarli in A.
Questo esempio sembra rispettare quelle richieste date dalle proposizioni, quindi guardando unicamente quelle sembra essere un esempio valido; però viola il fatto che avevo dimostrato sfruttando solamente queste due proposizioni ossia che "il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M".
E mi sembra una contraddizione assurda perché non possono contraddirsi le informazioni che ricavo da esse, il mio esempio dovrebbe non funzionare per una delle due affermazioni per dimostarsi errato e invece così non sembra fare.
Nel tuo esempio esempio è come se partissi già dall'assunto che questo esempio fatto da me non esiste, e mostri un caso che può succedere, e lo capiso... ma io vorrei dimostrare che il mio esempio non esiste partendo solo da quelle due proposizioni quindi che le violi, perché a me sembra il mio esempio invece le rispetti (perché rispetta tutti i quantificatori).
Devo sbagliare qualcosa nel ragionamento, ovviamente, ma sai che non capisco cosa.
Il punto che mi confonde è:
Le proposizioni
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
mi permettono di dimostrare che $T_pS$ visto come insieme delle immagini del differenziale è uguale a ${dotalpha|∃alpha, ∃v : dotalpha(0)=v}:=M$
quindi da quelle due proposizioni iniziali/informazioni date io deduco che il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M.
Poi riprendo di nuovo quelle due proposizioni e prendo il mio controesempio con gli insiemi A e B finiti suddetti.
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
e dico: la prima dice che per ogni $v$ trovo un $alpha$ quindi posso ipotizzare di mandare 4 elementi di A in 3 di B.
la seconda dice che per ogni $alpha$ esiste un $dotalpha=vinT_pS$, quindi posso prendere tutti e 5 gli elementi di B e mandarli in A.
Questo esempio sembra rispettare quelle richieste date dalle proposizioni, quindi guardando unicamente quelle sembra essere un esempio valido; però viola il fatto che avevo dimostrato sfruttando solamente queste due proposizioni ossia che "il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M".
E mi sembra una contraddizione assurda perché non possono contraddirsi le informazioni che ricavo da esse, il mio esempio dovrebbe non funzionare per una delle due affermazioni per dimostarsi errato e invece così non sembra fare.
Nel tuo esempio esempio è come se partissi già dall'assunto che questo esempio fatto da me non esiste, e mostri un caso che può succedere, e lo capiso... ma io vorrei dimostrare che il mio esempio non esiste partendo solo da quelle due proposizioni quindi che le violi, perché a me sembra il mio esempio invece le rispetti (perché rispetta tutti i quantificatori).
Devo sbagliare qualcosa nel ragionamento, ovviamente, ma sai che non capisco cosa.
Niente, sono costretto a farti notare i problemi riga per riga.
"gaspare":Questa notazione è molto confusa. Tu dici che questo insieme $M$ è uguale all'insieme dei $dotalpha$ (che è la derivata di una curva) tale che esistono $alpha$ (curva) e $v$ (vettore) tale che $dotalpha(0)=v$. Ma lo sapevamo già che $dotalpha(0)$ era un vettore, e quindi? Probabilmente tu intendi dire che $M$ è uguale all'insieme dei vettori del tipo $dotalpha(0)$ tali che $alpha$ è una curva e $alpha(0)=P$ (dove $P$ è il punto che stai osservando, su cui i vettori sono tangenti).
$T_pS$ visto come insieme delle immagini del differenziale è uguale a ${dotalpha|∃alpha, ∃v : dotalpha(0)=v}:=M$
quindi da quelle due proposizioni iniziali/informazioni date io deduco che il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M.Qui stai scrivendo $dotalpha$ ma secondo me (come hai già scritto sopra) vuoi dire $dotalpha(0)$. Il fatto che scrivi delle cose volendo intenderne altre non aiuta la lettura, anzi. Perché non scrivi $dotalpha(0)$? Non è la stessa cosa di $dotalpha$. Osserva che $dotalpha$ è la derivata di una curva, $dotalpha(0)$ è un vettore. Quindi il numero dei vettori in $T_pS$ è uguale al numero di vettori del tipo $dotalpha(0)$, NON è uguale al numero di cose del tipo $dotalpha$.
Poi riprendo di nuovo quelle due proposizioni e prendo il mio controesempio con gli insiemi A e B finiti suddetti.No, non lo puoi ipotizzare, perché $4$ elementi di $A$ non possono essere vettori tangenti di $3$ curve in $B$ perché $3$ curve daranno luogo al massimo a $3$ vettori tangenti, non ti sembra? Ogni curva passante per $P$ dà luogo a un vettore tangente in $P$. Quindi le tue ipotesi già generano una contraddizione a questo livello.
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
e dico: la prima dice che per ogni $v$ trovo un $alpha$ quindi posso ipotizzare di mandare 4 elementi di A in 3 di B.
la seconda dice che per ogni $alpha$ esiste un $dotalpha=vinT_pS$, quindi posso prendere tutti e 5 gli elementi di B e mandarli in A.Cosa vuol dire "mandarli in $A$"? Vuol dire che prendi $alpha in B$ e lo mandi in $dotalpha(0) in A$?
Questo esempio sembra rispettare quelle richieste date dalle proposizioni, quindi guardando unicamente quelle sembra essere un esempio valido; però viola il fatto che avevo dimostrato sfruttando solamente queste due proposizioni ossia che "il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di $dotalpha$ in M".Ma infatti non sono uguali, il numero di vettori $v in T_pS$ è uguale al numero di cose del tipo $dotalpha(0)$, NON al numero di cose del tipo $dotalpha$.
Ti prego davvero di scusarmi se sono stato poco accorto ma pensavo di aver chiarito scrivendo:
Dato che in tutto questo discorso la velocità è sempre valutata in $dotα(0)$ non stavo a scriverlo sempre perché non si parla mai di $dotα$, vorrei chiarire che quindi tutto il discorso si riferisce a $dotα(0)$ ed era solo per non appesantire la scrittura, ma è stata una pessima trovata.
Quindi intendevo ad es.:
"da quelle due proposizioni iniziali/informazioni date io deduco che il numero di vettori v∈TpS è uguale al numero di $dotalpha(0)$ in M."
${dotα(0)∣∃α,∃vinT_pS:dotα(0)=v}:=M$ pensavo di rendre così l'insieme degli $dotalpha(0)$ dicendo che erano gli elementi per cui esistevano una curva e un vettore tangente (cioè un elemento di TpS) tale che valesse la relazione: $dotα(0)=v$
Mi era utile definirli in questo modo e mi sembrava sensato, e poi dimostravo che $TpS:={v∣v=dϕ(w),w∈RR^2}$ era uguale ad M per doppia inclusione.
Ma se quindi ho sbagliato anche qui, come dimostro TpS=insieme degli $dotalpha(0)$ sfruttando le due proposizioni indicate? Non ho capito come procedere dato che la mia dimostrazione si basava sulla definizione di M che mi ero dato. Ma se nn va bene cade la mia dimostrazione, dovendo usare il tuo insieme: " M è uguale all'insieme dei vettori del tipo $dotα(0)$ tali che α è una curva e α(0)=P".
Insomma, vorrei dimostrare questa doppia inclusione, ma come?
Io pensavo di poter ricavare questa relazione tra numero di curve e numero di vettori tangenti solo dalle
1-$ ∀v⃗ ,∃α:v⃗ =dotα(0)$
2- $∀α,dotα(0)∈TpS$
FORSE invece non si può, devo già partire sapendo che c'è un legame tra numero curve e numero di vettori tangenti che non si riesce a ricavare solo da queste due proposizioni scritte.
Io in sostanza prendevo elementi da due insiemi qualunque A e B (collegati tra loro co le frecce, quindi relazini dette) e volevo a tutti i costi trovare da 1 e 2 che venisse fuori una contraddizione con il mio esempio. Ma è insensato, perché 1 e 2 richiedono già di sapere che $dotα(0)$ e $v$ sono elementi di insiemi con certe caratteristiche e non element a caso come li prendevo io.
Notazione: per semplicità e non tormentarmi con lo scriverlo sempre intendo: $dotα(0)=dotα$, le velocità delle curve sono sempre in zero.quindi non è tanto quello il problema, perché ripeto che era solo una notazione
Dato che in tutto questo discorso la velocità è sempre valutata in $dotα(0)$ non stavo a scriverlo sempre perché non si parla mai di $dotα$, vorrei chiarire che quindi tutto il discorso si riferisce a $dotα(0)$ ed era solo per non appesantire la scrittura, ma è stata una pessima trovata.Quindi intendevo ad es.:
"da quelle due proposizioni iniziali/informazioni date io deduco che il numero di vettori v∈TpS è uguale al numero di $dotalpha(0)$ in M."
Questa notazione è molto confusa.
${dotα(0)∣∃α,∃vinT_pS:dotα(0)=v}:=M$ pensavo di rendre così l'insieme degli $dotalpha(0)$ dicendo che erano gli elementi per cui esistevano una curva e un vettore tangente (cioè un elemento di TpS) tale che valesse la relazione: $dotα(0)=v$
Mi era utile definirli in questo modo e mi sembrava sensato, e poi dimostravo che $TpS:={v∣v=dϕ(w),w∈RR^2}$ era uguale ad M per doppia inclusione.
Ma se quindi ho sbagliato anche qui, come dimostro TpS=insieme degli $dotalpha(0)$ sfruttando le due proposizioni indicate? Non ho capito come procedere dato che la mia dimostrazione si basava sulla definizione di M che mi ero dato. Ma se nn va bene cade la mia dimostrazione, dovendo usare il tuo insieme: " M è uguale all'insieme dei vettori del tipo $dotα(0)$ tali che α è una curva e α(0)=P".
Insomma, vorrei dimostrare questa doppia inclusione, ma come?
No, non lo puoi ipotizzare, perché 4 elementi di A non possono essere vettori tangenti di 3 curve in B perché 3 curve daranno luogo al massimo a 3 vettori tangenti, non ti sembra?sì, certo, quello mi torna e forse era qui l'errore.
Io pensavo di poter ricavare questa relazione tra numero di curve e numero di vettori tangenti solo dalle
1-$ ∀v⃗ ,∃α:v⃗ =dotα(0)$
2- $∀α,dotα(0)∈TpS$
FORSE invece non si può, devo già partire sapendo che c'è un legame tra numero curve e numero di vettori tangenti che non si riesce a ricavare solo da queste due proposizioni scritte.
Io in sostanza prendevo elementi da due insiemi qualunque A e B (collegati tra loro co le frecce, quindi relazini dette) e volevo a tutti i costi trovare da 1 e 2 che venisse fuori una contraddizione con il mio esempio. Ma è insensato, perché 1 e 2 richiedono già di sapere che $dotα(0)$ e $v$ sono elementi di insiemi con certe caratteristiche e non element a caso come li prendevo io.
Cosa vuol dire "mandarli in A"? Vuol dire che prendi α∈B e lo mandi in α.(0)∈A?intendevo dire che potevo prendere un $dotalpha(0)$ e trovare una relazione che lo "mandasse" in A. Quindi graficamente trovare una freccia che collegava vari $alpha$ a vari element di A, e nel caso dell'esempio volevo collegarli tutti a un unico elemento v di A e trovare una contraddizione con le due proposizioni per mostrare che tale caso non sussisteva.
Le due inclusioni ve le hanno dimostrate a lezione, lo avevi detto subito, non c'è ragione di tornarci.
Poi dici "c'è un legame tra numero curve e numero di vettori tangenti", ma no! Le cose del tipo $dotalpha(0)$ sono vettori, non sono curve. Se ti aspetti che il numero di curve sia uguale al numero di vettori tangenti, ti avviso che non c'è speranza che questo accada.
Ogni vettore tangente viene da una curva (cioè è del tipo $dotalpha(0)$ per una curva $alpha$), ogni curva $alpha$ dà luogo al vettore tangente $dotalpha(0)$. Più curve possono dare luogo allo stesso vettore tangente. Non vedo contraddizioni né problemi, mi sembra tutto chiaro e limpido.
Poi dici "c'è un legame tra numero curve e numero di vettori tangenti", ma no! Le cose del tipo $dotalpha(0)$ sono vettori, non sono curve. Se ti aspetti che il numero di curve sia uguale al numero di vettori tangenti, ti avviso che non c'è speranza che questo accada.
Ogni vettore tangente viene da una curva (cioè è del tipo $dotalpha(0)$ per una curva $alpha$), ogni curva $alpha$ dà luogo al vettore tangente $dotalpha(0)$. Più curve possono dare luogo allo stesso vettore tangente. Non vedo contraddizioni né problemi, mi sembra tutto chiaro e limpido.
Scusate che intervengo a gamba tesa... ma ragionare con l'esempio
\[
\varphi:t\in\mathbb{R}\to(t,f(t))\in\mathbb{R}^2
\]
ove \(f\) è una funzione liscia, dovrebbe risolvere ogni dubbio!
\[
\varphi:t\in\mathbb{R}\to(t,f(t))\in\mathbb{R}^2
\]
ove \(f\) è una funzione liscia, dovrebbe risolvere ogni dubbio!
Le due inclusioni ve le hanno dimostrate a lezione, lo avevi detto subito, non c'è ragione di tornarci.No in realtà quello che dicevo è che a lezione il prof ha affermato questo
- lo spazio tangente TpS coincide con l'insieme dei vettori velocità di curve $alpha$ per p.
Formalmente dice che ciò vuol dire che:
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
e io ne avevo intravisto una doppia inlcusione che avevo dimostrato nel metodo che ho scritto, cioè definendo due insiemi:
$T_pS:= {v|v=dphi(w), w in RR^2}$
$M:={dotalpha(0)∣∃α,∃v∈TpS:dotα(0)=v}$
con la dimostrazione del messaggio iniziale.
Poi tu mi hai detto: "ma guarda che M non si definisce così", e allora la mia doppia inclusione dimostrata non andava più bene
perché ho definito male un insieme. Per quello chiedevo come andasse fatta.Poi dici "c'è un legame tra numero curve e numero di vettori tangenti", ma no! Le cose del tipo $dotalpha(0)$ sono vettori, non sono curve.non intendo dire che ci sia un legame diretto 1:1 come vettori $dotalpha(0)$ e vettori di TpS che indicavo con $v$. Intendo dire che c'è un legame nel senso che il caso ad esempio di 4 vettori di A che danno luogo a 3 curve in B (per danno luogo intendo che 4 vettori di A non possono essere vettori tangenti di 3 curve in B).
Inveci presi A e B come insiemi di oggetti qualunque questa cosa può accadere: posso collegare 4 frecce che partono da A a solo 3 oggetti in B, non posso farlo se A sono vettori tangenti e B le curve che li hanno generati, perché sarebbe insensato.
Ecco, la mia idea era voler dimostrare che prendendo le due proposizioni offerte dal prof:
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
si potesse mostrare che il mio esempio non sussisteva. Ero cioè convinto che solamente guardando i rapporti di "per ogni" e "esiste" riuscissi a trovare una contraddizione nel mio esempio di A e B finiti che avevo fatto, e dimostrare che non c'erano i collegamenti che indicavo.
Ma notavo che prendere 4 vettori e collegarli (in nota per chiarimento)[nota]con collegarli intendo che la freccia che collega graficamente gli insiemi di vettori tangenti con l'insieme delle curve ha i rapporti di
* A->B schematizza il rapporto l'elemento di A è vettore tangente dell'elemento di B
* B->A schematizza che la curva in B ha un proprio vettore tangente in A (quello collegato dalla freccia appunto)[/nota] a 3 elementi (curve) di B la prima proposizione concede di farlo, non violando i rapporti di per ogni e esiste. Ma non si può fare per il rapporto che sussiste tra vettori $dotalpha(0)$ e curve $alpha$.
Allo stesso modo la seconda proposizione non era violata prendendo tutti e 5 gli elementi di un insieme qualunque B e collegandoli a un solo elemento di A, infatti $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$ non nega che io possa prendere 5 curve di B e collegarla a un solo oggetto di A con una freccia. Difatti non posso farlo non tanto per la proposizione che lo consentirebbe anche, ma per il rapporto che c'è tra curve e suo vettore tangente non si può: infatti se quelle 5 curve sono state trovate partendo da 4 vettori tangenti iniziali in A, non posso poi dire che le stesse 5 curve hanno un unico vettore tangente).
Per questo non mi pare che siano quelle proposizioni ad essere contraddette nel mio esempio, ma il fatto che sto usando specifici insiemi A e B che hanno delle proprietà tra loro.
Questo era il mio incastrarmi, però mi pare di capire che il mio esempio non va bene a priori proprio per i rapporti che ci sono tra curve e vettori velocità da esse creati: ripeto un ultima volta l'esempio per cui non posso dire che 4 vettori tangenti in A si possono collegare (e essere vettori tangenti di) 3 curve in B.
Secondo me ci siamo fraintesi all'inizio, per mia colpa di essermi spiegato male. Ma spero di aver raddrizzato la barca ora nello spiearmi. Grazie infinite per il tuo aiuto in questa pagina, non ho però capito dal tono se ti ho spazientito, spero vivamente di no
perché non era mia intenzione.
Tutto ok, rimane solo il fatto che la definizione corretta di $M$ è
$M={dotalpha(0) : alpha in B}$
dove $B$ è l'insieme delle curve $alpha$ tali che $alpha(0)=P$.
$M={dotalpha(0) : alpha in B}$
dove $B$ è l'insieme delle curve $alpha$ tali che $alpha(0)=P$.
Ok sono contento di essermi riuscito finalmente a spiegare sul resto (ma non per tua colpa di non capire, comprendo di essere io nel "torto")
Però onestamente ora non so come dimostrare la doppia inclusione, perché quella che mi ero prodotto autonomamente prima si bastava sulla definizione di M sbagliato, mentre io dovrei mostrare:
M=TpS, esplicitamente:
$M:={dotalpha(0) : alpha(0)=P}$ =[nota]uguale da dimostrare[/nota] $T_pS:= {v|v=dphi(w), w in RR^2}$
Quindi non mi viene facile usare la doppia inclusione in questo caso, come si fa?
Ripensandoci
PS: (dim doppia inlcusione)
Forse funziona uguale, sapendo che
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
in effetti:
preso un elemento x di M, esso è del tipo $dotalpha(0)$, quindi dalla proposizione 2 $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$, e quindi $x inT_pS$
di converso, preso un elemento r di $T_pS$, dalla prima proposizione esiste $alpha$ tale che $r=dotalpha(0)$, quindi $r in M$
Era così tautologico che non mi convinceva.
Potrebbe andare?
Tutto ok, rimane solo il fatto che la definizione corretta di M èSì, esatto. E per quello chiedevo questa cosa prima:
"gaspare":
Poi tu mi hai detto: "ma guarda che M non si definisce così", e allora la mia doppia inclusione dimostrata non andava più bene
Però onestamente ora non so come dimostrare la doppia inclusione, perché quella che mi ero prodotto autonomamente prima si bastava sulla definizione di M sbagliato, mentre io dovrei mostrare:
M=TpS, esplicitamente:
$M:={dotalpha(0) : alpha(0)=P}$ =[nota]uguale da dimostrare[/nota] $T_pS:= {v|v=dphi(w), w in RR^2}$
Quindi non mi viene facile usare la doppia inclusione in questo caso, come si fa?
Ripensandoci
PS: (dim doppia inlcusione)
Forse funziona uguale, sapendo che
- $forall vecv, ∃alpha : vecv=dotalpha(0)$
- $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$
in effetti:
preso un elemento x di M, esso è del tipo $dotalpha(0)$, quindi dalla proposizione 2 $forall alpha, dotalpha(0) in T_pS$, e quindi $x inT_pS$
di converso, preso un elemento r di $T_pS$, dalla prima proposizione esiste $alpha$ tale che $r=dotalpha(0)$, quindi $r in M$
Era così tautologico che non mi convinceva.
Potrebbe andare?
Sì certo è ovvio.
Ti ringrazio.
Sono discpiaciuto se ti ho disturbato così tanto su questa cosa ma volevo capirla a fondo avendo compreso di essermi del tutto impallato.
Ho dimostrato la mia idiozia
, però ora ci sono arrivato grazie a te.
Grazie per il tuo grande aiuto, da solo mi ero proprio incartato, e non sarei riuscito a riordinare correttamente le idee.
Sono discpiaciuto se ti ho disturbato così tanto su questa cosa ma volevo capirla a fondo avendo compreso di essermi del tutto impallato.
Ho dimostrato la mia idiozia
, però ora ci sono arrivato grazie a te.Grazie per il tuo grande aiuto, da solo mi ero proprio incartato, e non sarei riuscito a riordinare correttamente le idee.
Prego, figurati 
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