Vettore tangente e piano normale, parte 2

[desperados3]

ciao a tutti, mi sono imbattuto in quest'altro esercizio:



che richiede (come il precedente) di calcolare le equazioni della retta tangente e del piano normale.

Dopo aver calcolato il vettore velocità, ed aver sostituito ai vettori r e v il parametro $t=pi/4$, mi sono ricavato l'equazione della retta in forma parametrica:

(è un sistema, non padroneggio ancora bene mathml)

$x=1/2 R - Rt$
$y=1/2 R$
$z= sqrt2 /2 + sqrt2/2*Rt$

a questo punto ho esplicitato per ciascuna equazione rispetto a t, ma mi è venuto un pasticcio enorme e soprattutto, non sono sicuro che sia il modo corretto di procedere. il mio obiettivo è trovare l'equazione del piano normale.

grazie mille in anticipo

[ELWOOD1]

Se non ricordo male l'equazione del piano normale alla curva è

$(\bar{p}-\bar{r}(t_0))\cdot \bar{r}'(t_0)=0$

dove $\bar{p}$ è un generico punto x,y,z

Ora nel tuo caso

$\bar{r}((\pi)/4)=(1/2R,1/2R,\frac{\sqrt{2}}{2}R)$
$\bar{r}'((\pi)/4)=(R,0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)$

Quindi l'equazione del piano diventa:

$(x-1/2R,y-1/2R,z-\frac{\sqrt{2}}{2}R)\cdot (R,0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)=0$

$R(x+\frac{\sqrt{2}}{2}z-R)=0$
...sperando di non aver commesso errori...

[desperados3]

scusa, non ho capito come dalla penultima espressione sei passato all'ultima. puoi dirmi che passaggio hai fatto?

grazie mille

[ELWOOD1]

Ho fatto il prodotto scalare:

$xR-1/2R^2+0+(\sqrt{2})/2z-1/2R^2=0$

Poi ho raccolto $R$

risultando

$R(x+(\sqrt{2})/2z-R)=0$

[ELWOOD1]

Ho fatto il prodotto scalare:

$xR-1/2R^2+0+(\sqrt{2})/2z-1/2R^2=0$

Poi ho raccolto $R$

risultando

$R(x+(\sqrt{2})/2z-R)=0$

[evariste1]

cerca di non andare a memoria calcola
s(t)=dr(t)/dt e poi poni t=Pi/4 e trovi il vettor tangente che puoi normalizzare moltiplicandolo per 1/||s(t)|| con t=Pi/4. poi considera un piano di normale s(t=P/4) con il punto r(t=Pi/4)=A appartenente ad esso. ogni punto P appartenente al piano dovrà soddisfare (p-A) x s(t=P/4)=0. questa è l'equazione del piano normale