Vettore parallelo retta nello spazio

[Kioru19]

Salve,

svolgendo un esercizio ho dovuto trovare il vettore parallelo alla retta $ r: { ( x - y + z ),( y + 2z = 3 ):} $.
Per trovarlo so che ci sono due modi:
1) Fare il prodotto vettoriale dei due vettori ortogonali ai due piani formanti la retta $r$ quindi: $ { ( vec ( m ) = (1, -1, 1 ) ), (vec ( n ) = (0, 1, 2 )):} $ e da $ vec m x vec n $ ottengo $ (-3, -2, 1) $
2) Portare la retta $r$ in forma parametrica: $ r: { ( x = y -t ),( y = 2t + 3 ),( z = t ):} $ così trovo subito il vettore parallelo: $ (-1, 2, 1) $
Ora è normale che questi due siano diversi?
Lo chiedo perchè un esercizio successivo mi è venuto corretto usando il vettore trovato col secondo metodo, invece con quello del primo metodo non mi viene. Perchè succede questo?

Grazie

[vlander]

Il primo metodo è giusto.

"Kioru19":
2) Portare la retta $r$ in forma parametrica: $ r: { ( x = y -t ),( y = 2t + 3 ),( z = t ):} $ così trovo subito il vettore parallelo: $ (-1, 2, 1) $

Nella prima riga hai lasciato $y$, mentre nella seconda hai sbagliato un segno, dovrebbe uscire:

${(x=-3t+3), (y=-2t+3), (z=t):}$

[Kioru19]

Ok grazie!