Vettore ortogonale a un piano
Buonasera a tutti, non riesco proprio a capire questo esercizio del pretest di un esame di algebra lineare
Se $g:RR^3 xx RR^3 -> RR $ è l'applicazione bilineare con matrice $((1,-1,2),(-1,0,1),(2,1,3))$ rispetto alla base canonica
Per quale $k$ il vettore $((1,k,0))$ è $g-$ortogonale al piano di equazione $2x-y+z=0$ ?
a) $k = -2$
b) $k = -1$
c) $k = 0$
d) $k = 1$
e) $k = 2$
La risposta corretta è la b, $k = -1$, ma perchè ? non riesco proprio a capire...
Se potete spiegarmi cosa si intende per $g-$ortogonale con un link o magari due parole sarebbe ottimo !
Vi ringrazio in anticipo, Francesco
Se $g:RR^3 xx RR^3 -> RR $ è l'applicazione bilineare con matrice $((1,-1,2),(-1,0,1),(2,1,3))$ rispetto alla base canonica
Per quale $k$ il vettore $((1,k,0))$ è $g-$ortogonale al piano di equazione $2x-y+z=0$ ?
a) $k = -2$
b) $k = -1$
c) $k = 0$
d) $k = 1$
e) $k = 2$
La risposta corretta è la b, $k = -1$, ma perchè ? non riesco proprio a capire...
Se potete spiegarmi cosa si intende per $g-$ortogonale con un link o magari due parole sarebbe ottimo !
Vi ringrazio in anticipo, Francesco
Risposte
Per g-ortoganale, penso si intenda:
siano v,w due vettori appartenenti a R^3 allora sono g-ortogonali se, detta A la matrice associata all'aplicazione bilineare g, allora si deve avere g(v,w)=0 cioè ((v)^t)A(w)=0.
[dove con ^t si intende l'operazione di trasposizione]
Nel caso specifico di questo esercizio:
consideriamo un qualunque vettore appartenente al piano ad esempio u=(1,1,-1)
e imponiamo che il vettore (1,k,0) sia perpendicolare a u.
quidi si ottiene:
$ ( 1 \ \ k \ \ 0 ) $ $ ( ( 1 , -1 , 2 ),( -1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 3 ) ) $ $ ( ( 1 ),( 1),( -1) ) $ =0
che svolgendo i calcoli diventa:
$ ( 1 \ \ k \ \ 0 ) $ $ ( ( -2 ),( -2),( 0) ) $ =0
e quindi si ottiene 2k+2=0 e finalmente k=-1.
Spero di esserti stato utile
siano v,w due vettori appartenenti a R^3 allora sono g-ortogonali se, detta A la matrice associata all'aplicazione bilineare g, allora si deve avere g(v,w)=0 cioè ((v)^t)A(w)=0.
[dove con ^t si intende l'operazione di trasposizione]
Nel caso specifico di questo esercizio:
consideriamo un qualunque vettore appartenente al piano ad esempio u=(1,1,-1)
e imponiamo che il vettore (1,k,0) sia perpendicolare a u.
quidi si ottiene:
$ ( 1 \ \ k \ \ 0 ) $ $ ( ( 1 , -1 , 2 ),( -1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 3 ) ) $ $ ( ( 1 ),( 1),( -1) ) $ =0
che svolgendo i calcoli diventa:
$ ( 1 \ \ k \ \ 0 ) $ $ ( ( -2 ),( -2),( 0) ) $ =0
e quindi si ottiene 2k+2=0 e finalmente k=-1.
Spero di esserti stato utile
Grazie, sei stato fantastico !!!
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