Vettore e spazio tangente
salve,
mi è stato introdotto questo concetto: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_ta ... elle_curve
in particolare mi sono bloccato sull'affermazione: "La tangenza tra curve è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza sono chiamate vettori tangenti"
Ma la classe di equivalenza non è $[\gamma]$? Mi pare che la classe suddetta siano curve, mentre intuitivamente il vettore tangente mi sembrerebbe essere la sua derivata. Quindi come faccio a dire che la classe di equivalenza sono i vettori tangenti se dovrebbero essere le derivate?
Scusate la domanda stupida
mi è stato introdotto questo concetto: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_ta ... elle_curve
in particolare mi sono bloccato sull'affermazione: "La tangenza tra curve è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza sono chiamate vettori tangenti"
Ma la classe di equivalenza non è $[\gamma]$? Mi pare che la classe suddetta siano curve, mentre intuitivamente il vettore tangente mi sembrerebbe essere la sua derivata. Quindi come faccio a dire che la classe di equivalenza sono i vettori tangenti se dovrebbero essere le derivate?
Scusate la domanda stupida
Risposte
Prendi una varietà differenziabile $M$, un punto $p \in M$ e una carta \( \phi : p \ni U \to \mathbb{R}^n \) . Prendi l'insieme $A$ delle curve $C^{\infty}$ $\gamma: (-\epsilon_{\gamma}, \epsilon_{\gamma}) \to M$ tali che $\gamma(0)=p$ e considera la relazione di equivalenza \( \sim \) data da \(\gamma \sim \eta \) sse
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ \phi(\gamma(t))- \phi(p)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{ \phi(\eta(t))- \phi(p)}{t} \]
Allora lo spazio tangente ad $M$ in $p$ si può definire come
\[ T_p M = \frac{A}{\sim} \]
Ora, presa una curva $C^{\infty}$ $\gamma: (-\epsilon_{\gamma}, \epsilon_{\gamma}) \to M$ tale che $\gamma(0)=p$, tu indichi con $\dot{\gamma}(0)$ la classe di equivalenza di $\gamma$.
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ \phi(\gamma(t))- \phi(p)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{ \phi(\eta(t))- \phi(p)}{t} \]
Allora lo spazio tangente ad $M$ in $p$ si può definire come
\[ T_p M = \frac{A}{\sim} \]
Ora, presa una curva $C^{\infty}$ $\gamma: (-\epsilon_{\gamma}, \epsilon_{\gamma}) \to M$ tale che $\gamma(0)=p$, tu indichi con $\dot{\gamma}(0)$ la classe di equivalenza di $\gamma$.
Ok mi sembra tornare quello che dici, tuttavia non capisco perché quella classe si chiami vettore tangente (non riesco a vederlo tangente a nulla immaginando qualcosa in 3D), mi sembra solo una classe di curve che percorrono la varietà (che giacciono su di essa e non che la sfiorano "tangentemente" -scusa l'obbrobrioso neologismo 
-)
-)
Puoi dimostrare che l'insieme delle classi di equivalenza che hai costruito è uno spazio vettoriale; puoi dimostrare che esiste una mappa \(\pi : \coprod T_pM\to M\) tale che \(\pi^\leftarrow(p) = T_pM\), quindi "attorno" a $M$ sono attaccati un fottìo (termine tecnico) di spazi vettoriali "dipendenti" dal punto $p$.
Formalmente parlando, l'isomorfismo \(T_pM\cong\mathbb R^{\dim M}\) si costruisce proprio mandando una classe di equivalenza di curva per $p$, diciamo \(t\mapsto \gamma(t)\), in \(\dot\gamma(0)\), che è un vettore di \(\mathbb{R}^{\dim M}\).
Formalmente parlando, l'isomorfismo \(T_pM\cong\mathbb R^{\dim M}\) si costruisce proprio mandando una classe di equivalenza di curva per $p$, diciamo \(t\mapsto \gamma(t)\), in \(\dot\gamma(0)\), che è un vettore di \(\mathbb{R}^{\dim M}\).
Però tutto questo non sembra suggerirmi nell'idea grafica con dimensione immaginabile che essi siano tangenti alla varietà, è quello che mi turba nel nome "tangente" dato alla classe
Siccome i vettori sono di curve a supporto in $M$, giocoforza lo spazio tangente è "attaccato a $M$ lungo $p$"; questo, del resto, non significa nulla formalmente, è solo un modo di rappresentare \(\coprod T_pM\).
Forse l'errore è che volevo vedere qualcosa di tangente a una possibile varietà visualizzabile (es: una sfera immersa in 3 assi cartesiani)?
Mi aspettavo a parole qualscosa di simile a un piano tangente in p, e in quella mappa(curva) non la vedevo perché la curva va da (-e,e)->M quindi crea graficamente qualcosa che segue la "curvatura della sfera" e non un piano, e tantomeno nella classe di curve dette vettore tangente.
Mi aspettavo a parole qualscosa di simile a un piano tangente in p, e in quella mappa(curva) non la vedevo perché la curva va da (-e,e)->M quindi crea graficamente qualcosa che segue la "curvatura della sfera" e non un piano, e tantomeno nella classe di curve dette vettore tangente.
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