Vettore che appartiene allo spazio colonne di una matrice
la matrice in questione è
(1.88, -5.5, 4.3),
(0.89, -2.6, -2)
qual' il vettore b che appartiene al suo spazio colonne?
(1.88, -5.5, 4.3),
(0.89, -2.6, -2)
qual' il vettore b che appartiene al suo spazio colonne?
Risposte
Qualunque combinazione nella forma
$((1.88,-5.5,4.33),(0.89,-2.6,-2))\mathbf{X}$ con \(\mathbf{X}\in\mathbb{R}^3\) (do per scontato che la matrice sia intesa come reale) appartiene allo spazio colonna.
Nello specifico, visto che la matrice ha rango 2 e visto che $n$ qualunque vettori linearmente indipendenti di uno spazio $n$-dimensionale ne costituiscono una base, due colonne linearmente indipedenti* della tua matrice costituiscono una base di $\mathbb{R}^2$ e generano quindi qualunque \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2\).
Ciao!
*Lo sono tutte a due a due, in questo caso.
$((1.88,-5.5,4.33),(0.89,-2.6,-2))\mathbf{X}$ con \(\mathbf{X}\in\mathbb{R}^3\) (do per scontato che la matrice sia intesa come reale) appartiene allo spazio colonna.
Nello specifico, visto che la matrice ha rango 2 e visto che $n$ qualunque vettori linearmente indipendenti di uno spazio $n$-dimensionale ne costituiscono una base, due colonne linearmente indipedenti* della tua matrice costituiscono una base di $\mathbb{R}^2$ e generano quindi qualunque \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2\).
Ciao!
*Lo sono tutte a due a due, in questo caso.
scusami ma facendo il determinante dei minori 2x2 ( 3 matrici 2x2) mi vengono tutti 0 (in realtà quei numeri hanno più cifre significative che non ho riportato) quindi il rango è 1. giusto?
"ditek":
scusami ma facendo il determinante dei minori 2x2 ( 3 matrici 2x2) mi vengono tutti 0 (in realtà quei numeri hanno più cifre significative che non ho riportato) quindi il rango è 1. giusto?
Con quelle cifre significative li avevo calcolati non nulli (ammetto: con Octave
). Se i determinanti dei minori di ordine 2 sono tutti nulli, il rango è 1 ed è 1 sia per righe sia per colonne, quindi lo spazio colonna è l'insieme di tutti i multipli di una colonna a caso.
un ultima cosa: se il rango fosse stato 2 questo cosa avrebbe cambiato sulla determinazione del vettore appartenente al suo spazio colonna? si procedeva facendo la combinazione lineare e trovare i coefficienti? ma se non ho il termine noto cioè il vettore da calcolare come mi calcolo tali coefficienti?
scusa per le troppe domande
scusa per le troppe domande
"ditek":
un ultima cosa: se il rango fosse stato 2 questo cosa avrebbe cambiato sulla determinazione del vettore appartenente al suo spazio colonna?
In quel caso qualunque vettore \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2\) sarebbe stato combinazione lineare delle colonne della tua matrice, che chiamo $A$ per praticità, e l'equazione \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) avrebbe sempre avuto soluzione, per ogni \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2\).
In questo caso con rango 1, invece, \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) ha soluzione se e solo se \(\mathbf{b}\) è multiplo di una colonna (a caso, ché tanto sono una multipla dell'altra perché \(r(A)=1\)) di $A$.
"ditek":
si procedeva facendo la combinazione lineare e trovare i coefficienti? ma se non ho il termine noto cioè il vettore da calcolare come mi calcolo tali coefficienti?
In generale non puoi trovare quell'\(\mathbf{x}\) tale che \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) senza sapere \(\mathbf{b}\). Se invece hai \(\mathbf{b}\) puoi risolvere il sistema \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) se e solo se \(\mathbf{b}\) è nello spazio colonna di $A$, cosa che si nota tentando di risolvere il sistema, facendo la qual cosa si vede se questo risulta compatibile, per esempio se riduci la matrice ampliata \((A|\mathbf{b})\) con l'algoritmo di Gauss-Jordan.
"ditek":
scusa per le troppe domande
Di nulla!
grazie
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