Verificare sottospazi vettoriali

[cherry8490]

Buon pomeriggio a tutti, io ho un dubbio che non riesco a chiarire.
avrei bisogno di un metodo per verificare i sottospazi vettoriali. risolvere un sistema omogeneo va bene? perchè io ho capito che vanno verificate le 3 proprieta (somma, prodotto per un un numero e esistenza del vettore nullo), ma nello svolgere gli esercizi mi confondo sempre. grazie a chiunque vorrà essermi d'aiuto.

[poncelet]

Sia \(W \subset V\) dove \(V\) è uno spazio vettoriale su di un campo \(K\). Siano \(x,y \in W\). Se vuoi dimostrare che \(W\) è un sottospazio vettoriale è sufficiente dimostrare che \((\lambda x+\mu y) \in W\) dove \(\lambda, \mu \in K\) Dove trovi difficoltà? Puoi postare un esempio?

[cherry8490]

ad esempio quando devo dimostrare (x,y,z) appartenenti ad R3 tali che x-y=0 e x+y=0.
ho capito in linea di massima come si fa, ma ogni volta che risolvo un esercizio ho difficoltà ad utilizzare un metodo universale

[poncelet]

Allora se non capisco male il tuo sottospazio è dato dai vettori di \(\mathbb{R}^{3}\) della forma \((0,0,z)\) con \(z \in \mathbb{R}\). Allora prendi \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) e \((0,0,z_1)\) e \((0,0,z_2)\). E' facile verificare che \(\lambda(0,0,z_1)+\mu(0,0,z_2)=(0,0,\lambda z_1)+(0,0,\mu z_2)=(0,0,\lambda z_1+\mu z_2)\) appartiene al tuo sottospazio che quindi verifica le condizioni per essere un sottospazio vettoriale.

[cherry8490]

ok grazie!! quindi devo sempre trasformare il sottospazio che mi viene dato in una terna (perchè in questo caso siamo in R3) i cui elementi potrebbero essere uno in funzione degli altri giusto?

[poncelet]

Dipende dallo spazio vettoriale in cui stai lavorando. Nell'esempio che hai postato avevi un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^3\) e quindi gli elementi sono delle terne di numeri reali

[cherry8490]

io in generale, dovrei verificare se qualsiasi terna verifica le 3 proprietà giusto?

[poncelet]

La strada per verificare se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale è sempre quella: si prendono due elementi del sottoinsieme ed un elemento del campo su cui è definito lo spazio vettoriale e si verifica che valgano le condizioni di spazio vettoriale: chiusura rispetto alla somma, chiusura rispetto alla moltiplicazione per un elemento del campo, esistenza dello zero. In realtà è sufficiente verificare una condizione che le racchiude tutte e tre

[indovina]

"cherry8490":ad esempio quando devo dimostrare (x,y,z) appartenenti ad R3 tali che x-y=0 e x+y=0.
ho capito in linea di massima come si fa, ma ogni volta che risolvo un esercizio ho difficoltà ad utilizzare un metodo universale

credo che siano due esercizi 'separati' nel senso tu intedevi:
dimostrare (x,y,z) appartenenti ad R3 tali che x-y=0

(quello che ha poi dimostrato l'utente )

e l'altro esercizio è:

dimostrare (x,y,z) appartenenti ad R3 tali che x+y=0

perchè mi sembra leggermente strano che sia $x-y=0$ e $x+y=0$ come condizioni simultanee *_*