Verificare se un sottoinsieme è sottospazio vett.

[gaten]

Verificare che X è sottospazio vettoriale:
$ X={( ( ab , b ),( a , 0 ) ) | a,b in R} $

[egregio]

Da regolamento devi proporre un tentativo, anche sbagliato di risoluzione. Comunque non devi fare altro che applicare la definizione. E abbastanza semplice, controlla la stabilità rispetto all'operazione di somma tra matrici e prodotto per uno scalare. Se l'elemento che ottieni facendo le operazioni suddette considerando due matrici aventi la forma degli elementi del tuo insieme, ha ancora la forma dell'elemento del tuo insieme allora sei effettivamente in un sottospazio vettoriale

[gaten]

Per la somma questo:

$ ( ( ab , b ),( a , 0 ) )+( (a^{\prime}b^{\prime}, b^{\prime}),(a^{\prime}, 0) )=( ( ab+a^{\prime}b^{\prime} , b+b^{\prime} ),( a+a^{\prime} , 0 ) ) $

$ k( ( ab , b ),( a , 0 ) )=( ( k(ab) , kb ),( ka , 0 ) ) $

Adesso in base a cosa dico che è sottospazio vettoriale, dovrebbe essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto.

[egregio]

Esatto, anche se si preferisce dire "stabile"

[gaten]

$ Y={a0 + (a0-3a2)x1 + a2x2 + a4x4 | a0; a2; a4 in R} $

Perdonami , ma qui non saprei proprio come fare. Potresti aiutarmi.

[egregio]

sono potenze o pedici?

[gaten]

pedici

[egregio]

Non farti spaventare dai polinomi. Fai come hai fatto prima, prendi un nuovo polinomio i cui coefficienti sono $a'_0$, $a'_0-3a'_2$, etc....; a questo punto fai la somma dei polinomi, ti renderai conto che avrai nuovamente un nuovo polinomio della stessa forma, cioè un termine noto prodotto tra due reali, e due un reale, etc...; lo stesso ragionamento lo fai per lo scalare e ti trovi che anche questo è un sottospazio vettoriale.

Ah, un piccolo consiglio, prima di considerare la stabilità, io lo faccio sempre, controlla se il vettore nullo appartiene al sottospazio, spesso, i prof, danno degli esercizi in cui il vettore nullo non si trova nell'insieme

[gaten]

Scusami biggest, ma le incognite x non devo cambiarle? Mi spiego meglio:

Questo è il primo polinomio:

$ a_0+(a_0-3a_2)x_1+a_2x_2+a_4x_4 $ , seguendo il tuo consiglio, prendo un altro polinomio del tipo:
$ a'_0+(a'_0-3'a_2)x_1+a'_2x_2+a'_4x_4 $, adesso verifico se la somma tra questi due polinomi fa ancora parte del sottospazio iniziale(quindi resta la stessa forma del polinomio iniziale) e vedo se è stabile rispetto al prodotto, quindi:

SOMMA:
$ (a_0+(a_0-3a_2)x_1+a_2x_2+a_4x_4)+(a'_0+(a'_0-3'a_2)x_1+a'_2x_2+a'_4x_4)= $
$ = (a_0+a'_0)+(a_0+a'_0-3a_2-3'a_2)x_1+a_2x_2+a'_2x_2+a_4x_4+a'_4x_4) $ dopodichè, per la somma cosa dico e cosa faccio?

PRODOTTO:

$ k(a_0+(a_0-3a_2)x_1+a_2x_2+a_4x_4) = ka_0+(a_0-3a_2)kx_1+ka_2x_2+ka_4x_4 $ rispetto al prodotto cosa dico?

Grazie anticipatamente