Verificare se un sistema di vettori è lin. dipen./indipend.

[gaten]

Ragazzi se ho un sistema di vettori e devo verdere se il sistema è indipendente o dipendente come faccio?
Nell'esercizio che stò svolgendo mi chiede di usare la coordinazione rispetto ai riferimenti canonici:

Questo è il sistema di vettori:
$ T = { ( ( 1 , -1 ),( 3 , 3 ) ) , ( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ), ( ( 1 , 3 ),( -3 , 0 ) ) in R_2,_2 } $

il riferimento canonico di T è(non nè sono sicuro):
$ ( ( a_1,_1 , a_1,_2 ),( a_2,_1 , a_2,_2 ) ) = { ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) , ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) } $

Adesso, come faccio a verificare che T è indipendente/dipendente rispetto alla coordinazione rispetto al riferimento canonico?

[_prime_number]

Scrivi ognuno dei vettori in coordinate rispetto al riferimento canonico (ad esempio il primo avrà coordinate $(1,-1,3,3)$), mettile in una matrice e calcolane il rango. Se sono linearmente indipendenti dovrà venire $3$.

Paola

[gaten]

Quindi devo fare una cosa del tipo:

(per trovarmi la prima colonna)
$ ( ( 1 , -1 ),( 3 , 2 ) ) = h1( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )+ h2( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+h3( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )+h4( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

Facendo la stessa cosa con gli altri vettori, ottengo una matrice di questo tipo:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( -1 , 1 , 3 ),( 3 , 0 , -3 ),( 2 , 1 , 0 ) ) $

Usando l'eliminazione di gauss, ottengo:

$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , -3/2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Quindi posso dire che il sistema di vettori T è lineramente indipendente.

Giusto?

[_prime_number]

Non ho controllato i conti ma il procedimento è giusto!

Paola

[gaten]

ho un lapsus, nell'ultimo sistema , dopo l'eliminazione di gauss, l'ultima riga (0 0 0) posso pure eliminarla vero? (scusami per la domanda stupida)

[_prime_number]

Sì certo... Tanto per calcolare il rango massimo bastano le prime 3 righe.

Paola

[gaten]

Grazie mille:)