Verificare se un insieme di vettori è una base per ssv
Ho un ssv U di $R^4$ così definito:
U = L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))
Come faccio a verificare se i seguenti insiemi sono basi o meno per U?
{(1,0,1,0),(1,2,-1,2)}
{(1,1,0,1),(0,1,-1,0)}
Mi interessa più che altro sapere che procedimento devo applicare più che risolvere questo specifico esercizio.
Grazie a tutti
U = L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))
Come faccio a verificare se i seguenti insiemi sono basi o meno per U?
{(1,0,1,0),(1,2,-1,2)}
{(1,1,0,1),(0,1,-1,0)}
Mi interessa più che altro sapere che procedimento devo applicare più che risolvere questo specifico esercizio.
Grazie a tutti
Risposte
Per capire se i vettori che ti generano un sottospazio vettoriale ne costituiscono una base devi verificare che questi siano indipendenti , ad esempio mettendoli come righe di una matrice e valutandone il suo rango . A tal punto se sono indipendenti , bene è una base , in caso contrario elimini quelli che dipendono dagli altri e li trovi in corrispondenza delle righe che non utilizzi per stimare il minore di rango massimo all'interno della tua matrice ! 
Ma scusami una base non dev'essere innanzitutto un sistema di generatori? Come mai verificando che siano lin ind mi basta?
Un sottospazio vettoriale te lo si deve assegnare tramite un sistema di generatori oppure un sistema di equazioni , concordi ?
Se vogliamo specializzare il ragionamento nel tuo caso devi considerare la dimensione del sottospazio U che ti è stato e poi verifichi se quelle assegnateti sono delle basi per U !
Ok ti ringrazio, sembra più chiaro, ci rifletto ancora, magari richiedo se ho altre difficoltà
A disposizione 
Dato uno spazio $U={((1),(1),(0),(1)), ((0),(1),(-1),(1)),((3),(1),(2),(1))}$, dire che un generico insieme $W={\vec w_1,\vec w_2}$ è una Base di tale spazio, equivale ad asserire quanto segue:
1) $text{span} W=U$
2) $W$ è un insieme Linearmente indipendente.
(
Piccola parentesi
Nel tuo caso si nota facilmente che la condizione 1) è giustificata se e solo se $U$ non è una Base.
Altrimenti $text{dim}U!=text{dim}W$ e ne conseguirebbe che sicuramente $text{span} W!=V$.
Come preannunciato infatti $\vec u_3=3\vec u_1-2\vec u_2$ => $U$ non è Base,
Ricaviamo facilmente la Base semplicemente togliendo il vettore che dava la dipendenza lineare: $B_U=U text{/}{\vec u_3}={((1),(1),(0),(1)), ((0),(1),(-1),(1))}$.
Ecco che ora finalmente $text{dim}B_U=text{dim}W$ e quindi potrebbe essere verificata la 1).
)
Ricordando che $text{span} W$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $W$, vediamo se è vera la 1):
Ponendo $W={((1),(0),(1),(0)), ((1),(2),(-1),(2))}$, abbiamo:
$text{span} W=B_U => \{(1a+0b+1c+0d=1\alpha+1\beta+0\gamma+1\delta),(1a+2b-1c+2d=0\alpha+1\beta-1\gamma+1\delta):} $ che risolto ti da per quali coefficienti $a,b,c$ è vera la nostra relazione.
Il passo 2) consiste nel verificare che $\alpha\vec w_1+\beta\vec w_2=\vec o$ è vera $text{<=>} \alpha=\beta=0$ (condizione per la quale i 2 vettori sono L.I.)
1) $text{span} W=U$
2) $W$ è un insieme Linearmente indipendente.
(
Piccola parentesi
Nel tuo caso si nota facilmente che la condizione 1) è giustificata se e solo se $U$ non è una Base.
Altrimenti $text{dim}U!=text{dim}W$ e ne conseguirebbe che sicuramente $text{span} W!=V$.
Come preannunciato infatti $\vec u_3=3\vec u_1-2\vec u_2$ => $U$ non è Base,
Ricaviamo facilmente la Base semplicemente togliendo il vettore che dava la dipendenza lineare: $B_U=U text{/}{\vec u_3}={((1),(1),(0),(1)), ((0),(1),(-1),(1))}$.
Ecco che ora finalmente $text{dim}B_U=text{dim}W$ e quindi potrebbe essere verificata la 1).
)
Ricordando che $text{span} W$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $W$, vediamo se è vera la 1):
Ponendo $W={((1),(0),(1),(0)), ((1),(2),(-1),(2))}$, abbiamo:
$text{span} W=B_U => \{(1a+0b+1c+0d=1\alpha+1\beta+0\gamma+1\delta),(1a+2b-1c+2d=0\alpha+1\beta-1\gamma+1\delta):} $ che risolto ti da per quali coefficienti $a,b,c$ è vera la nostra relazione.
Il passo 2) consiste nel verificare che $\alpha\vec w_1+\beta\vec w_2=\vec o$ è vera $text{<=>} \alpha=\beta=0$ (condizione per la quale i 2 vettori sono L.I.)
"toyo10":
Dato uno spazio $U={((1),(1),(0),(1)), ((0),(1),(-1),(1)),((3),(1),(2),(1))}$, dire che un generico insieme $W={\vec w_1,\vec w_2}$ è una Base di tale spazio, equivale ad asserire quanto segue:
1) $text{span} W=U$
2) $W$ è un insieme Linearmente indipendente.
(
Piccola parentesi
Nel tuo caso si nota facilmente che la condizione 1) è giustificata se e solo se $U$ non è una Base.
Altrimenti $text{dim}U!=text{dim}W$ e ne conseguirebbe che sicuramente $text{span} W!=V$.
Come preannunciato infatti $\vec u_3=3\vec u_1-2\vec u_2$ => $U$ non è Base,
Ricaviamo facilmente la Base semplicemente togliendo il vettore che dava la dipendenza lineare: $B_U=U text{/}{\vec u_3}={((1),(1),(0),(1)), ((0),(1),(-1),(1))}$.
Ecco che ora finalmente $text{dim}B_U=text{dim}W$ e quindi potrebbe essere verificata la 1).
)
Ricordando che $text{span} W$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $W$, vediamo se è vera la 1):
Ponendo $W={((1),(0),(1),(0)), ((1),(2),(-1),(2))}$, abbiamo:
$text{span} W=B_U => \{(1a+0b+1c+0d=1\alpha+1\beta+0\gamma+1\delta),(1a+2b-1c+2d=0\alpha+1\beta-1\gamma+1\delta):} $ che risolto ti da per quali coefficienti $a,b,c$ è vera la nostra relazione.
Il passo 2) consiste nel verificare che $\alpha\vec w_1+\beta\vec w_2=\vec o$ è vera $text{<=>} \alpha=\beta=0$ (condizione per la quale i 2 vettori sono L.I.)
Hai tolto il gusto dell'esercizio al nostro caro masteryuri !
Potrà divertirsi con l'altro (e molti altri ancora) ora che sa come svolgerlo!
"toyo10":
Potrà divertirsi con l'altro (e molti altri ancora) ora che sa come svolgerlo!
Devi stimolare il tuo interlocutore al ragionamento in modo da non ridurre l'esercizio a mero calcolo !
Ahaha grazie a tutti
Di nulla . Sempre disponibili a collaborare !
Intanto ho trovato lo svolgimento dell'esercizio che ho proposto su degli appunti.
Semplicemente prende la matrice composta dai due vettori della base trovata inizialmente. {(1,1,0,1),(0,1,-1,1)}
A questa aggiunge una riga contenente una volta il vettore (1,0,1,0) e una volta il vettore (1,2,-1,2). Calcola il rango delle due matrici e dato che è 2, deduce che {(1,0,1,0),(1,2,-1,2)} è una base. Perché?
Semplicemente prende la matrice composta dai due vettori della base trovata inizialmente. {(1,1,0,1),(0,1,-1,1)}
A questa aggiunge una riga contenente una volta il vettore (1,0,1,0) e una volta il vettore (1,2,-1,2). Calcola il rango delle due matrici e dato che è 2, deduce che {(1,0,1,0),(1,2,-1,2)} è una base. Perché?
"masteryuri":
Intanto ho trovato lo svolgimento dell'esercizio che ho proposto su degli appunti.
Semplicemente prende la matrice composta dai due vettori della base trovata inizialmente. {(1,1,0,1),(0,1,-1,1)}
A questa aggiunge una riga contenente una volta il vettore (1,0,1,0) e una volta il vettore (1,2,-1,2). Calcola il rango delle due matrici e dato che è 2, deduce che {(1,0,1,0),(1,2,-1,2)} è una base. Perché?
Chiedo scusa ma quale è la richiesta dell'esercizio?
Verificare se {(1,0,1,0),(1,2,-1,2)} sia una base per il ssv U = L((1,1,0,1),(0,1,-1,1),(3,1,2,1))
Verifica che quei vettori stanno in quel sottospazio e che ne formino una sua base.
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