Verificare se i vettori dati sono generatori: due metodi?
Buonasera!
I vettori $v_(1)=(0,1,1)$ e $v_(2)=(1,0,2)$ sono generatori di $R^3$?
So che ci sono due metodi ma uno non riesco ad attuarlo e l'altro non so come si concluda:
1) Calcolo il rango della matrice associata al sistema e se è massimo allora i vettori sono generatori.
Ho ottenuto questo sistema:
${(x_(2)=a) ,(x_(1)=b), (x_(1)+2x_(2)=c)$ scusate non so scrivere i sistemi!
La matrice associata è quindi $((0,1),(1,0),(1,2))$ ma se fin qui è tutto ok come la riduco a scalini? Non ci riesco.
2)Dopo aver impostato il sistema, devo determinare i coefficienti $x$ e vedere se esistono questi numeri reali tali per cui valga la definizione di sistema di generatori, ovvero che qualunque vettore dello spazio possa essere una combinazione lineare dei vettori generatori moltiplicati per gli scalari $x$. Però sul libro mi fa vedere un esercizio simile, ma non vengono determinate le $x$. Dice solamente: quindi è possibile determinare i numeri reali $x...$ in modo che sia verificata l'uguaglianza.
E' giusto lasciar così quindi? E se venisse qualche $x=0$ significherebbe che quei vettori non sono generatori?
Grazie e scusate il poema
I vettori $v_(1)=(0,1,1)$ e $v_(2)=(1,0,2)$ sono generatori di $R^3$?
So che ci sono due metodi ma uno non riesco ad attuarlo e l'altro non so come si concluda:
1) Calcolo il rango della matrice associata al sistema e se è massimo allora i vettori sono generatori.
Ho ottenuto questo sistema:
${(x_(2)=a) ,(x_(1)=b), (x_(1)+2x_(2)=c)$ scusate non so scrivere i sistemi!
La matrice associata è quindi $((0,1),(1,0),(1,2))$ ma se fin qui è tutto ok come la riduco a scalini? Non ci riesco.
2)Dopo aver impostato il sistema, devo determinare i coefficienti $x$ e vedere se esistono questi numeri reali tali per cui valga la definizione di sistema di generatori, ovvero che qualunque vettore dello spazio possa essere una combinazione lineare dei vettori generatori moltiplicati per gli scalari $x$. Però sul libro mi fa vedere un esercizio simile, ma non vengono determinate le $x$. Dice solamente: quindi è possibile determinare i numeri reali $x...$ in modo che sia verificata l'uguaglianza.
E' giusto lasciar così quindi? E se venisse qualche $x=0$ significherebbe che quei vettori non sono generatori?
Grazie e scusate il poema
Risposte
Che io sappia per generare uno spazio a tre dimensioni occorrono almeno tre generatori, tu ne hai solo due quindi ... prova a costruire il vettore $(1,1,2)$ se ci riesci ... 
"axpgn":
Che io sappia per generare uno spazio a tre dimensioni occorrono almeno tre generatori, tu ne hai solo due quindi ... prova a costruire il vettore $(1,1,2)$ se ci riesci ...
Azz mi son fatta fregare!
Non so che cosa intendi per costruire comunque penso di aver capito bene.
Ho calcolato il rango della matrice considerando i due vettori più quello che mi hai scritto ed è $3$ il massimo, perciò sono dei generatori. Ed essendo lo spazio $R^3$ ed avendo 3 vettori ho una base, dato che ho 3 pivot e perciò i vettori sono linearmente indipendenti. Giusto?
Il secondo metodo resta un mistero
Grazie mille per l'aiuto
Giusto
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