Verificare per quali valori di k si ha un SSV
Ciao, ho fatto tanti esercizi sui SSV ma di questo tipo non me ne era mai capitato, quindi sono un po' confusa.
Considerato lo spazio vettoriale dei polinomi di \(\displaystyle R^2[t] \) determinare per quali valori di k il seguente insieme di polinomi è un SSV di\(\displaystyle R^2[t] \) ed in tal caso se ne calcoli la dimensione.
\(\displaystyle {(k-1)t^2+(k+2)t} \)
Mi viene da rispondere istintivamente che è SSV di R^2[t] per valori di k diversi da 1, perché se k è 1 mi si annulla il termine di secondo grado e quindi non sono più in \(\displaystyle R^2[t] \)...ma mi pare troppo semplice. E per la dimensione?
Posto k diverso da 1 non dovrebbe essere 2?
Grazie.
Considerato lo spazio vettoriale dei polinomi di \(\displaystyle R^2[t] \) determinare per quali valori di k il seguente insieme di polinomi è un SSV di\(\displaystyle R^2[t] \) ed in tal caso se ne calcoli la dimensione.
\(\displaystyle {(k-1)t^2+(k+2)t} \)
Mi viene da rispondere istintivamente che è SSV di R^2[t] per valori di k diversi da 1, perché se k è 1 mi si annulla il termine di secondo grado e quindi non sono più in \(\displaystyle R^2[t] \)...ma mi pare troppo semplice. E per la dimensione?
Posto k diverso da 1 non dovrebbe essere 2?
Grazie.
Risposte
Per essere uno spazio vettoriale, dev'esserci l'elemento neutro della somma, cioè $0$, quindi non tutti gli elementi di $R^2[t]$ sono di secondo grado.
Piuttosto, sei sicura di aver scritto bene? Scegliendo dei valori di $k$ si ottengono dei singoli polinomi, non insiemi o sottospazi vettoriali...
Piuttosto, sei sicura di aver scritto bene? Scegliendo dei valori di $k$ si ottengono dei singoli polinomi, non insiemi o sottospazi vettoriali...
Sì l'esercizio è corretto, mancava però una "a" a fianco a $t^2$. Cioè $t^2$ è moltiplicato anche per un a.
Ho capito che la mia risposta è sbagliata, ma continuo a non capire bene l'esercizio
Ho capito che la mia risposta è sbagliata, ma continuo a non capire bene l'esercizio
Okay. Vediamo con calma. Intanto $R$ cos'è? Per il momento faccio finta che sia $\mathbb R$. Poniamo $$V:=\{(k-1)at^2+(k+2)t\mid a\in\mathbb R\}.$$ Vogliamo dimostrare che $V$ sia un sottospazio vettoriale. Quindi dobbiamo porre che, presi due polinomi in $V$, la loro somma sia ancora in $V$. Come controlli questa cosa?
Dopo, l'altra condizione da porre è che, preso un polinomio in $V$ e uno scalare in $\mathbb R$, il loro prodotto sia in $V$.
Dopo, l'altra condizione da porre è che, preso un polinomio in $V$ e uno scalare in $\mathbb R$, il loro prodotto sia in $V$.
Allora dovrei verificare che la somma di due vettori così "formati":
\[ V:=\{(k-1)at^2+(k+2)t\mid a\in\mathbb R\}. \]
stia ancora V, e la moltiplicazione di un qualsiasi scalare per quel tipo di vettore lì mi dà sempre un vettore che sta in V.
Pongo $v1=(k-1)a_1t^2+(k+2)t$ e $v2=(k-1)a_2t^2+(k+2)t$
$v1+v2=(k-1)(a_1+a_2)t^2 + 2(k+2)t$
Ma da qui cosa posso concludere?
\[ V:=\{(k-1)at^2+(k+2)t\mid a\in\mathbb R\}. \]
stia ancora V, e la moltiplicazione di un qualsiasi scalare per quel tipo di vettore lì mi dà sempre un vettore che sta in V.
Pongo $v1=(k-1)a_1t^2+(k+2)t$ e $v2=(k-1)a_2t^2+(k+2)t$
$v1+v2=(k-1)(a_1+a_2)t^2 + 2(k+2)t$
Ma da qui cosa posso concludere?
Il coefficiente di $t^2$ è diventato $(k-1)(a_1+a_2)$, che è della forma buona, visto che $a_1+a_2$ sta in $\mathbb R$.
Il problema è che invece il coefficiente di $t$ non va più bene. È raddoppiato. E per ogni valore di $k$, continua a raddoppiare. L'unico modo perché il ciefficiente di $t$ resti della forma che vogliamo, sommando due polinomi, è che sia uguale a $0$, cioè devi avere $k=-2$.
Il problema è che invece il coefficiente di $t$ non va più bene. È raddoppiato. E per ogni valore di $k$, continua a raddoppiare. L'unico modo perché il ciefficiente di $t$ resti della forma che vogliamo, sommando due polinomi, è che sia uguale a $0$, cioè devi avere $k=-2$.
Ecco, quello che non capisco è: perché dici "della forma che vogliamo"?
Cioè la condizione posta non è soltanto che $a$ appartenga a $RR$?
E per quanto riguarda la dimensione?
Grazie
Cioè la condizione posta non è soltanto che $a$ appartenga a $RR$?
E per quanto riguarda la dimensione?
Grazie
Il coefficiente di $t$ deve essere $k+2$, per lui la $a$ non gioca alcun ruolo.
Comunque, dopo aver visto la somma, e aver capito che $k=-2$ è una condizione necessaria, bisogna ancora controllare che vada bene con il prodotto per scalari.
Puoi vedere che è ok.
Per quanto riguarda la dimensione, alla fine trovi che l'unico sottospazio vettoriale (ottenuto per $k=-2$) è $$V=\{-3at^2\mid a\in\mathbb R\}.$$ La $a$ assorbe il $-3$, quindi ti trovi con tutti i polinomi del tipo $at^2$. Che dimensione avrà $V$?
Comunque, dopo aver visto la somma, e aver capito che $k=-2$ è una condizione necessaria, bisogna ancora controllare che vada bene con il prodotto per scalari.
Puoi vedere che è ok.
Per quanto riguarda la dimensione, alla fine trovi che l'unico sottospazio vettoriale (ottenuto per $k=-2$) è $$V=\{-3at^2\mid a\in\mathbb R\}.$$ La $a$ assorbe il $-3$, quindi ti trovi con tutti i polinomi del tipo $at^2$. Che dimensione avrà $V$?
Se quindi fosse stato $(k+2)at$ questo problema non ci sarebbe stato?
Faccio fatica a capire questa cosa...cioè il modo in cui è definito questo SSV. Mi pone solo la condizione del parametro a...ma non dice nulla sul coefficiente di t...perché se raddoppia dovrebbe essere un problema? Non riesco proprio a capirlo.
Comunque sì, bisogna controllare anche la moltiplicazione.
Sia $v1=(k-1)at^2 + (k+2)t $
con k=-2 allora si ha che:
$\lambda*v1=\lambda*(-3at^2)=-3\lambda\at^2$
Da cui possiamo dedurre che non ci sono problemi di sorta...credo.
Non ho capito cosa intendi con "La a assorbe il −3".
In ogni caso V ha dimensione 1, essendo composto da polinomi con un'unica variabile.
Grazie!
Faccio fatica a capire questa cosa...cioè il modo in cui è definito questo SSV. Mi pone solo la condizione del parametro a...ma non dice nulla sul coefficiente di t...perché se raddoppia dovrebbe essere un problema? Non riesco proprio a capirlo.
Comunque sì, bisogna controllare anche la moltiplicazione.
Sia $v1=(k-1)at^2 + (k+2)t $
con k=-2 allora si ha che:
$\lambda*v1=\lambda*(-3at^2)=-3\lambda\at^2$
Da cui possiamo dedurre che non ci sono problemi di sorta...credo.
Non ho capito cosa intendi con "La a assorbe il −3".
In ogni caso V ha dimensione 1, essendo composto da polinomi con un'unica variabile.
Grazie!
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