Verificare l'iniettività di due applicazioni distinte (contemporaneamente)?
Ciao di nuovo! Spero non abbiate problemi se posto un altro esercizio a breve distanza, il problema è che ho l'easame tra brevissimo e ho delle lacune nelle applicazioni lineari, confido nella vostra compassione 
.
Non riesco ad iniziare questo esercizio d'esame, non so cosa devo fare dall'inizio. L'esercizio è questo:
Definire due applicazioni lineari distinte $F,G : RR^3 -> M_2(RR)$ tali che
$F((2,-1,1)) = F((1,3,1))$ e $F((4,-2,2)) = F((1,-1/2,1/2))$
$G((2,-1,1)) = G((1,3,1))$ e $G((-1,1/2,-1/2)) = G(4,-2,2))$.
$F$ e $G$ sono iniettive? Due applicazioni lineari $F$ e $G$ che soddisfano le condizioni precedenti possono essere tali che $Im G = Im F$? Calcolare $F((1,-4,0))$ e $G((2,-4,0))$.
Spero mi aiutate, un consiglio, un indizio, un accenno, anche per capire come iniziare.
Vi ringrazio a prescindere.
.Non riesco ad iniziare questo esercizio d'esame, non so cosa devo fare dall'inizio. L'esercizio è questo:
Definire due applicazioni lineari distinte $F,G : RR^3 -> M_2(RR)$ tali che
$F((2,-1,1)) = F((1,3,1))$ e $F((4,-2,2)) = F((1,-1/2,1/2))$
$G((2,-1,1)) = G((1,3,1))$ e $G((-1,1/2,-1/2)) = G(4,-2,2))$.
$F$ e $G$ sono iniettive? Due applicazioni lineari $F$ e $G$ che soddisfano le condizioni precedenti possono essere tali che $Im G = Im F$? Calcolare $F((1,-4,0))$ e $G((2,-4,0))$.
Spero mi aiutate, un consiglio, un indizio, un accenno, anche per capire come iniziare.
Vi ringrazio a prescindere.
Risposte
Ciao.
Se un'applicazione assume lo stesso valore su due vettori differenti, non potrà mai essere iniettiva. O no?
Saluti.
Se un'applicazione assume lo stesso valore su due vettori differenti, non potrà mai essere iniettiva. O no?
Saluti.
Ok, se un'applicazione assume lo stesso valore su due vettori differenti non è iniettiva, ma io ho due applicazioni, ho $F$ e $G$...
Attenzione, per ipotesi si deve avere $F((2,-1,1)) = F((1,3,1))$, quindi $F$ non è iniettiva.
Stesso discorso per $G$.
Saluti.
Stesso discorso per $G$.
Saluti.
Ciao ho un esercizio simile ma non capisco la logica
Allora avendo $s_1 != s_2$ allora $F(s_1) != F(s_2)$, così so che sono iniettive, tu dici che non lo sono e per quanto riguarda le immagini delle rispettive applicazioni?
"Ciccio092":
Allora avendo $ s_1 != s_2 $ allora $ F(s_1) != F(s_2) $, così so che sono iniettive, tu dici che non lo sono e per quanto riguarda le immagini delle rispettive applicazioni?
Ciao.
Attenzione, per poter affermare che un'applicazione (anche non lineare) è iniettiva si deve avere che se $ s_1 != s_2 $ allora $ F(s_1) != F(s_2) $, ma ciò deve valere per tutte le possibili coppie $(s_1,s_2)$, non solo per alcune.
Basta che esista anche una sola coppia $(s_1,s_2)$, con $ s_1 != s_2 $, su cui $ F(s_1) = F(s_2) $ (come nel caso dell'esercizio proposto) e la condizione di iniettività decade.
Nel caso delle applicazioni lineari, per mostrare l'iniettività è sufficiente far vedere che $KerF={0}$ (con $0$ si intende il vettore nullo nel dominio dell'applicazione); in questo esercizio, siccome $F((2,-1,1)) = F((1,3,1))=((a,b),(c,d))$, si ha
$F((2,-1,1)) - F((1,3,1))=F((2,-1,1) -(1,3,1))=F(1,-4,0)=((0,0),(0,0))$
cioè $(1,-4,0) in KerF$.
Saluti.
Ciao, sia ieri che oggi mi sono messo per cercare di capire come procedere, diciamo che ho capito un po' il discorso che hai fatto, facendo quella verifica hai effettivamente verificato l'esistenza dell'applicazione, poichè era diversa dal vettore zero essa non esiste. Ma come devo continuare? Potresti postare la soluzione completa? Non so come muovermi, ovviamente non sentirti obbligato, grazie di tutto!
Bene.
Risposta chiaramente negativa, sia per $F$ che per $G$.
Ora, volendo ragionare un po' prima di effettuare alcuni conti, si supponga
$v_1=(2,-1,1),v_2=(1,3,1),v_3=(4,-2,2),v_4=(1,-1/2,1/2)$
quindi, per ipotesi, si ha
$F(v_1)=F(v_2)$ e $F(v_3)=F(v_4)$
$G(v_1)=G(v_2)$ e $G(-v_4)=G(v_3)$
conseguentemente
$F(v_1-v_2)=((0,0),(0,0))=F(v_3-v_4) Rightarrow v_1-v_2=(1,-4,0),v_3-v_4=(3,-3/2,3/2) in KerF$
$G(v_1-v_2)=((0,0),(0,0))=G(v_3+v_4) Rightarrow v_1-v_2=(1,-4,0),v_3+v_4=(5,-5/2,5/2) in KerG$
È evidente che, visto che i vettori $v_1-v_2,v_3-v_4$ sono linearmente indipendenti, le possibilità per il nucleo di $F$ sono date da $dimKerF=2$ o da $dimKerF=3$; se fosse vera l'ultima possibilità, però, si avrebbe che $F$ dovrebbe coincidere con l'applicazione lineare identicamente nulla, perchè si avrebbe $KerF=RR^3$; supponendo, quindi (come immaginerei) per ipotesi di voler cercare applicazioni lineari non nulle, ne conseguirebbe che $dimImF=1$.
Con un ragionamento quasi identico, considerando la lineare indipendenza di $v_1-v_2,v_3+v_4$, si arriva a mostrare che, se $G$ fosse un'applicazione lineare non nulla, dovrebbe valere che $dimImG=1$.
Altra osservazione: siccome i vettori $v_3-v_4,v_3+v_4$ sono uno multiplo dell'altro, si avrà
$KerF=mathcalL{v_1-v_2,v_3-v_4}=mathcalL{v_1-v_2,v_3+v_4}=KerG$
quindi i nuclei delle due applicazioni dovranno essere coincidenti.
Ora: siccome $(1,-4,0)=v_1-v_2 in KerF$, si avrà $F(1,-4,0)=((0,0),(0,0))$, mentre, per quanto riguarda $G(2,-4,0)$ si ha
$G(2,-4,0)=G(1,-4,0)+G(1,0,0)=G(1,0,0)$, perchè $(1,-4,0)=v_1-v_2 in KerG$.
Tutti questi risultati sono stati raggiunti senza aver calcolato esplicitamente le due applicazioni lineari $F,G$.
Chiaro, fino a questo punto?
Non vorrei "mettere troppa carne ai ferri".
Saluti.
"Ciccio092":
Definire due applicazioni lineari distinte $ F,G : RR^3 -> M_2(RR) $ tali che
$ F((2,-1,1)) = F((1,3,1)) $ e $ F((4,-2,2)) = F((1,-1/2,1/2)) $
$ G((2,-1,1)) = G((1,3,1)) $ e $ G((-1,1/2,-1/2)) = G(4,-2,2)) $.
$ F $ e $ G $ sono iniettive?
Risposta chiaramente negativa, sia per $F$ che per $G$.
"Ciccio092":
Calcolare $ F((1,-4,0)) $ e $ G((2,-4,0)) $.
Ora, volendo ragionare un po' prima di effettuare alcuni conti, si supponga
$v_1=(2,-1,1),v_2=(1,3,1),v_3=(4,-2,2),v_4=(1,-1/2,1/2)$
quindi, per ipotesi, si ha
$F(v_1)=F(v_2)$ e $F(v_3)=F(v_4)$
$G(v_1)=G(v_2)$ e $G(-v_4)=G(v_3)$
conseguentemente
$F(v_1-v_2)=((0,0),(0,0))=F(v_3-v_4) Rightarrow v_1-v_2=(1,-4,0),v_3-v_4=(3,-3/2,3/2) in KerF$
$G(v_1-v_2)=((0,0),(0,0))=G(v_3+v_4) Rightarrow v_1-v_2=(1,-4,0),v_3+v_4=(5,-5/2,5/2) in KerG$
È evidente che, visto che i vettori $v_1-v_2,v_3-v_4$ sono linearmente indipendenti, le possibilità per il nucleo di $F$ sono date da $dimKerF=2$ o da $dimKerF=3$; se fosse vera l'ultima possibilità, però, si avrebbe che $F$ dovrebbe coincidere con l'applicazione lineare identicamente nulla, perchè si avrebbe $KerF=RR^3$; supponendo, quindi (come immaginerei) per ipotesi di voler cercare applicazioni lineari non nulle, ne conseguirebbe che $dimImF=1$.
Con un ragionamento quasi identico, considerando la lineare indipendenza di $v_1-v_2,v_3+v_4$, si arriva a mostrare che, se $G$ fosse un'applicazione lineare non nulla, dovrebbe valere che $dimImG=1$.
Altra osservazione: siccome i vettori $v_3-v_4,v_3+v_4$ sono uno multiplo dell'altro, si avrà
$KerF=mathcalL{v_1-v_2,v_3-v_4}=mathcalL{v_1-v_2,v_3+v_4}=KerG$
quindi i nuclei delle due applicazioni dovranno essere coincidenti.
Ora: siccome $(1,-4,0)=v_1-v_2 in KerF$, si avrà $F(1,-4,0)=((0,0),(0,0))$, mentre, per quanto riguarda $G(2,-4,0)$ si ha
$G(2,-4,0)=G(1,-4,0)+G(1,0,0)=G(1,0,0)$, perchè $(1,-4,0)=v_1-v_2 in KerG$.
Tutti questi risultati sono stati raggiunti senza aver calcolato esplicitamente le due applicazioni lineari $F,G$.
Chiaro, fino a questo punto?
Non vorrei "mettere troppa carne ai ferri".
Saluti.
non hai risposto al secondo quesito!
"alberto1992":
non hai risposto al secondo quesito!
E' vero, ma la cosa era voluta; prima è opportuno che l'autore del topic abbia compreso quanto spiegato fino a questo momento.
Saluti.
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