Verificare la matrice diagonale

[skipper1]

Sto seguendo vari esercizi svolti su come diagonalizzare una matrice, ma come faccio a sapere se la matrice che ottengo è giusta?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)

matrice diagonalizzabile

1 0 0
0 2 0
0 0 -1

se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)

invece

1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0

Perchè?

[skipper1]

Grazie

[misanino]

Dal fatto che non rispondi deduco che non hai ancora capito o comunque non sei soddisfatto.
Allora proviamo così: ascolta attentamente:
la matrice diagonalizzata è $D=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1))$
perciò se chiamo $v_1,v_2,v_3$ gli autovettori che hai trovato tu ho che l'endomorfismo rispetto alla base degli autovettori è dato da
$f(v_1)=(1,0,0),f(v_2)=(0,2,0),f(v_3)=(0,0,-1)$

Quindi tornando all'esempio del vettore $(2,-2,0)$ si ha:
$(2,-2,0)=2*(1,0,0)-(2,0,0)=2*f(v_1)-f(v_2)=f(2v_1-v_2)$
Perciò il vettore per cui si deve moltiplicare D per avere $(2,-2,0)$ è $(2,-1,0)$

Ora è più chiaro?

[skipper1]

si
anche se non ho capito perchè
i vettori della base degli autovalori

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0

a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(-1,0,2) da cui a=0 b=0 c=-1

li imponiamo uguali ad esempio nel secondo caso dove (2,-2,0) è un vettore che si ottiene, dalla sostituendo (1,-1,0) all'endomorfimo f (che sarebbe quello per la base standard)

[misanino]

E' vero quello che hai detto Sergio, ma non è l'unico metodo possibile.
Tu diagonalizzi la matrice usando la matrice di cambio base M.
Però si può anche diagonalizzare la matrice scrivendo direttamente l'endomorfismo rispetto ad una base di autovettori.
E questo è quello che è stato fatto da Skipper.
E in effetti con una matrice 3x3 è propbabilmente puù veloce questo metodo, piuttosto che trovare la matrice di cambio base e andare anche a calcolarne l'inversa.

Riguardo poi all'ultima coa che hai detto, cioè come trovare l'immagine del vettore (0,1,0), ciò che hai detto è ancora giusto.
Però Skipper si poneva il problema opposto, cioè trovare quel vettore (x,y,z) con cui moltiplicare la matrice D per avere il vettore (2,-2,0) e questo si fa come gli ho spiegato nell'ultimo post che ho messo

[skipper1]

"Sergio":Scusate, ma mi sembra di vedere in giro troppa confusione.
Si parte da un endomorfismo, e sarebbe bene dare un nome sia a lui che allo spazio vettoriale. Diciamo: $f:V to V, f(x,y,z)=(x-y-z,2y,-z)$.
Prima nota: l'endomorfismo è sempre lo stesso quale che sia la base di $V$. Non ha senso parlare di un "nuovo endomorfismo rispetto ad una base di autovettori" (ancor meno rispetto ad una base di autovalori!).
Si considera poi la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica, che è $A=((1,-1,-1),(0,2,0),(0,0,-1))$.
Si dice che $A$ è associata a $V$ rispetto alla base canonica, perché se cambia la base cambia la matrice associata. Perché? Perché $f$ opera sugli elementi di $v$, mentre qualsiasi matrice associata opera sulle coordinate di $v$ rispetto ad una base. Se cambia la base, cambia la matrice (non l'endomorfismo).

Gli autovalori di $A$ sono $-1$, $1$ e $2$. In genere si usa scrivere gli autovalori in ordine crescente, quindi la matrice diagonale simile ad $A$ sarebbe $((-1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$. Nella discussione vengono trattati in ordine diverso, ma non ha molta importanza. Diciamo che la matrice diagonale, che chiamiamo $D$, è:
$D=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1))$.

Veniamo agli autovettori. Tra primo messaggio e correzioni successive non riesco a capire quali state usando
Una cosa mi pare sicura. Gli autovettori possono essere $(1,0,0)$ quello relativo all'autovalore $1$, $(-1,1,0)$ oppure $(1,-1,0)$ quello relativo all'autovalore $2$ (un autovettore è un elemento di una base dell'autospazio relativo ad un autovalore e un autospazio, come qualsiasi spazio vettoriale, può avere infinite basi; in questo caso, i due autovettori sono l'uno un multiplo dell'altro, quindi vanno bene entrambi), infine qualcosa del tipo $(1,0,2)$ per l'autovalore $-1$. Da dove saltino fuori quel $(-1,0,2)$ o $(1,0,-2)$ non riesco a capirlo....
Diciamo comunque che gli autovettori sono $(1,0,0),(1,-1,0),(1,0,2)$.
La matrice che li ha per colonne è: $M=((1,1,1),(0,-1,0),(0,0,2))$.
Da notare che le colonne della matrice rispettano l'ordine dato agli autovalori, quindi la prima colonna è l'autovettore relativo al primo autovalore ecc.
E' corretta? La verifica è semplice: $MDM^(-1)$ deve essere uguale ad $A$, e così è.

Poi viene l'annosa questione dell'immagine di un vettore come $v=(1,-1,0)$.
L'immagine di $v$ si ottiene facilmente dalla definizione (immutabile) dell'endomorfismo: $f(v)=((1-(-1)-0),(-2),(-0))=((2),(-2),(0))$.
La posso ottenere anche con la matrice $A$. Una matrice opera su coordinate rispetto ad una base, ma $A$ è associata a $f$ rispetto alla base canonica e la base canonica ha proprio questo di eccezionale: il vettore delle coordinate di un vettore rispetto alla base canonica è identico al vettore. In altre parole, indicando con $E$ la base canonica:
$"Coord"_E(v)=v$
Ne segue che l'immagine di $v$ non è altro che $A*"Coord"_E(v)=Av=((1,-1,-1),(0,2,0),(0,0,-1))((1),(-1),(0))=((2),(-2),(0))$.
Posso anche usare $D$, ma devo ricordare che $D$ è associata a $f$ rispetto ad un'altra base, quella costituita da autovettori. Che vuol dire? Vuol dire che:
1) devo moltiplicare $D$ per le coordinate di $v$ rispetto a questa base;
2) ottengo le coordinate dell'immagine, non subito l'immagine.
Proviamo.
Chiamiamo $B$ la base degli autovettotri: $B={(1,0,0)","(1,-1,0)","(1,0,2)}$. Le coordinate di $v$ rispetto a $B$ sono:
$"Coord"_B(v)=(0,1,0)$
in quanto $v$ non è altro che il secondo elemento della base.
Moltiplico $D$ per queste coordinate:
$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1))((0),(1),(0))=((0),(2),(0))$
Cosa ho ottenuto? Ho ottenuto le coordinate dell'immagine di $v$ rispetto a $B$. Per ottenere $f(v)$ non devo fare altro che sviluppare la combinazione lineare:
$f(v)=0*((1),(0),(0))+2*((1),(-1),(0))+0*((1),(0),(2))=((2),(-2),(0))$.
Cioè quello che dovevo ottenere.
E come mai? Perché $M$ e $M^(-1)$ sono matrici di cambiamento di base: $M^(-1)$ cambia $v$ (cioè le coordinate di $v$ rispetto alla base canonica $E$) nelle sue coordinate rispetto a $B$:
$M^(-1)v=((1,1,-1/2),(0,-1,0),(0,0,1/2))((1),(-1),(0))=((0),(1),(0))$
$D$ cambia queste coordinate nelle coordinate dell'immagine, come già visto, e si ottiene $((0),(2),(0))$.
$M$ cambia le coordinate rispetto a $B$ in coordinate rispetto a $E$:
$M((0),(2),(0))=((1,1,1),(0,-1,0),(0,0,2))((0),(2),(0))=((2),(-2),(0))$.
Quindi, come già si sapeva, $A$ è uguale a $MDM^(-1)$.

Tutto qui

Grazie a tè ora è molto più chiaro
Prima moltiplicando D*v ero convinto di ottenere direttamente vettore immaggine.......


potresti chiarimi che intendi dire con

La posso ottenere anche con la matrice $A$. Una matrice opera su coordinate rispetto ad una base, ma $A$ è associata a $f$ rispetto alla base canonica e la base canonica ha proprio questo di eccezionale: il vettore delle coordinate di un vettore rispetto alla base canonica è identico al vettore. In altre parole, indicando con $E$ la base canonica:

[skipper1]

se non ho capito male il vettore coordinate coincide con l'immaggine, usando la matrice A