Verificare la matrice diagonale
Sto seguendo vari esercizi svolti su come diagonalizzare una matrice, ma come faccio a sapere se la matrice che ottengo è giusta?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)
matrice diagonalizzabile
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)
invece
1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0
Perchè?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)
matrice diagonalizzabile
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)
invece
1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0
Perchè?
Risposte
"skipper":
Sto seguendo vari esercizi svolti su come diagonalizzare una matrice, ma come faccio a sapere se la matrice che ottengo è giusta?
Esempio Svolto
Sia l'endomorfismo (x,y,z)-->(x-y-z,2y,-z)
Base autovettori (1,0,0) (1,-1,0)(1,0,-2)
matrice diagonalizzabile
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
se moltiplico il vettore (1,-1,0) per la matrice Diag... mi aspetto di ottenere stando all'endomorfismo
il vettore (2,-2,0)
invece
1 0 0 | 1 . 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 . 0
Perchè?
Ti aspetti una cosa sbaglita.
Comunque per essere certo che il tuo procedimento sia corretto prova a spiegare come hai agito.
Hai la matrice A che rappresenta il tuo endomorfismo rispetto alla base standard.
Trovi una base di autovettori.
Poi cosa fai?
Mi calcolo
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,2
ad uno ad uno inpongo che
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(-1,0,2) da cui a=0 b=0 c=-1
in pratica trovo la matrice associata all'endomorfismo
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,2
ad uno ad uno inpongo che
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(-1,0,2)=(-1,0,2) da cui a=0 b=0 c=-1
in pratica trovo la matrice associata all'endomorfismo
"skipper":
Mi calcolo
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,-2
ad uno ad uno inpongo che
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(1,0,0) da cui a=1 b=0 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(2,-2,0) da cui a=0 b=2 c=0
a(1,0,0)+b (1,-1,0)+c(1,0,-2)=(-1,0,-2) da cui a=0 b=0 c=-1
in pratica trovo la matrice associata all'endomorfismo
Va bene.
Il procedimento è buono.
Ho però seri dubbi sull'ultimo autovettore che hai calcolato cioè $(1,0,-2)$.
Sei sicuro che sia un autovettore? A quale autovalore corrisponde?
emm..si (-1,0,-2) non è -2 ma 2
(-1,0,2) corrisponde all'autovalore h=-1
cmq non capisco perchè mi aspetto qualcosa di sbagliato.
(-1,0,2) corrisponde all'autovalore h=-1
cmq non capisco perchè mi aspetto qualcosa di sbagliato.
"skipper":
emm..si (-1,0,-2) non è -2 ma 2
(-1,0,2) corrisponde all'autovalore h=-1
cmq non capisco perchè mi aspetto qualcosa di sbagliato.
Ti aspettavi qualcosa di sbagliato perchè era sbagliata la matrice.
E' questo che intendevo.
Solo che non sapevo dov'era l'errore prima di ripercorrere i passi che hai fatto tu.
Ora l'errore è trovato.
Prova adesso a rifare la verifica
come detto prima è un esercizio svolto dal libro.
la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura
la matrice è
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
il prodotto riga per colonna dà
1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0
io invece mi aspetto
2
-2
0
la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura
la matrice è
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
il prodotto riga per colonna dà
1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0
io invece mi aspetto
2
-2
0
come detto prima è un esercizio svolto dal libro.
la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura
la matrice è
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
il prodotto riga per colonna dà
1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0
io invece mi aspetto
2
-2
0
la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura
la matrice è
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
il prodotto riga per colonna dà
1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0
io invece mi aspetto
2
-2
0
"skipper":
come detto prima è un esercizio svolto dal libro.
la matrice è giusta quella finale, il vettore di prima è stato solo un errore di battitura
la matrice è
1 0 0
0 2 0
0 0 -1
il prodotto riga per colonna dà
1 0 0 | 1 1
0 2 0 | -1 = -2
0 0 -1 | 0 0
io invece mi aspetto
2
-2
0
Sì, ma tu moltiplichi solo la matrice diagonalizzata per il vettore (1,-1,0)!!!
Per forza che non ti esce.
Ascolta bene:
Chiamiamo A la matrice di partenza relativa al tuo endomorfismo.
Tu l'hai diagonalizzata e chiamiamo D la matrice diagonalizzata ottenuta.
Per ottenere D hai trovato una base di autovettori e hai impostato il sistema, il che equivale a collocare gli autovettori della tua base come vettori colonna in una matrice, che chiamo M e a fare $M^(-1)*A*M$ che dà come risultato D.
Perciò $D=M^(-1)*A*M$ e quindi $A=M*D*M(-1)$.
E' questa matrice A che rappresenta il tuo endomorfismo rispetto alla base standard
ahhhh...cmq il libro fa pure con il metodo che dici tu è viene lo stesso,
quindi devo moltiplicare per un vettore della base canonica/standard?
quindi devo moltiplicare per un vettore della base canonica/standard?
"skipper":
ahhhh...cmq il libro fa pure con il metodo che dici tu è viene lo stesso,
quindi devo moltiplicare per un vettore della base canonica/standard?
Il metodo che ti ho detto adesso o il metodo del sistema che hai fatto tu sono equivalenti.
Ora però la matrice che hai trovato non rappresenta il tuo endomorfismo rispetto alla base standard, ma rispetto alla base di autovettori che hai trovato.
Per cui non puoi pretendere che succeda $f(x,y,z)=(x-y-z,2y,-z)$ perchè questo è il tuo endomorfismo rispetto alla base standard
una risposta chiara è semplice per favore,
per cosa devo moltiplicare la matrice diagonalizzabile per ritrovarmi con i vettori di partenza
per cosa devo moltiplicare la matrice diagonalizzabile per ritrovarmi con i vettori di partenza
"skipper":
una risposta chiara è semplice per favore,
per cosa devo moltiplicare la matrice diagonalizzabile per ritrovarmi con i vettori di partenza
Ma è una domanda senza senso.
Facciamo così.
Entriamo nel pratico.
Quale vettore di partenza vuoi ottenere?
questi sono i vettori immaggini della base degli autovalori
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,-2
ad esempio voglio ottenere 2,-2,0
Per cosa devo moltiplicare la matrice diagonalizzabile per ottenere 2,-2,0 ?
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))=-1,0,-2
ad esempio voglio ottenere 2,-2,0
Per cosa devo moltiplicare la matrice diagonalizzabile per ottenere 2,-2,0 ?
Devi moltiplicarla per il vettore $(2,-1,0)$, ma come vedi questo non ha nesso con i vettori di partenza.
Devi pensare infatti che ora la tua matrice rappresenta il tuo endomorfismo rispetto a un'altra base e quindi non viene più rappresentata tramite i vettori di partenza
Devi pensare infatti che ora la tua matrice rappresenta il tuo endomorfismo rispetto a un'altra base e quindi non viene più rappresentata tramite i vettori di partenza
è qual'è questa nuova base?
non è per caso la base degli autovalori?
non è per caso la base degli autovalori?
E' la base degli autovettori
...sto diventando nervoso
ma secondo tè questa che avevo scritto prima che base era?
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))= -1,0,-2
vesti sono i vettori immaggini della base degli autovalori
ma secondo tè questa che avevo scritto prima che base era?
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))= -1,0,-2
vesti sono i vettori immaggini della base degli autovalori
"skipper":
...sto diventando nervoso
ma secondo tè questa che avevo scritto prima che base era?
f((1,0,0)) = 1,0,0
f((1,-1,0))= 2,-2,0
f((1,0,-2))= -1,0,-2
vesti sono i vettori immaggini della base degli autovalori
No! Non sono le immagini nella base degli autovettori.
Sono le immagini degli autovettori nella base standard
Come hai fatto a dire infatti che $f(1,-1,0)=(2,-2,0)$?
Hai usato la definizione di f come $f(x,y,z)=(x-y-z,2y,-z)$ e questa è la definizione di f rispetto alla base standard
ok, fin qui c siamo.
allora qual'è il nuovo endomorfismo rispetto alla base degli autovalori?
allora qual'è il nuovo endomorfismo rispetto alla base degli autovalori?
"skipper":
ok, fin qui c siamo.
allora qual'è il nuovo endomorfismo rispetto alla base degli autovalori?
E' quello dato dalla matrice diagonalizzata $D=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1))$.
Si dice così.
Come il tuo endomorfismo di partenza è quello rappresentato dalla matrice $A=((1,-1,-1),(0,2,0),(0,0,-1))$
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