Verificare che una quadrica si spezza in due piani

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21 ago 2009, 11:35

Salve a tutti,
mi servirebbe un aiuto per questo esercizio:
"Data la quadrica:
$xy + xz -yz - z^2 - x + z = 0 $

Verificare che è spezzata in due piani $\alpha$ e $\beta$ "
Innanzitutto non mi è chiaro molto il concetto di "spezzata". Che vuol dire graficamente? Significa che la quadrica è sghemba ed è contenuta in due piani?
Infine come andrebbe risolto possibilmente; Grazie
Saluti.

Risposte

franced

21 ago 2009, 10:02

"spacetime":
"Data la quadrica:
$xy + xz -yz - z^2 - x + z = 0 $

Verificare che è spezzata in due piani $\alpha$ e $\beta$ "

Basta fattorizzare il polinomio:

$xy + xz -yz - z^2 - x + z = (y + z - 1)(x - z)$

quindi i due piani sono

$\alpha : y + z - 1 = 0$

e

$\beta : x - z = 0$ .

Camillo

21 ago 2009, 10:02

Vuol dire che la quadrica è degenere e consiste di due piani.
Per vederlo cerca di arrivare al prodotto delle equazioni di due piani.
Raccogli a fattor comune in modo opportuno :
$x(y+z-1)-z(y+z-1)=0 $ e quindi : $ ( x-z) (y+z-1)=0 $ ed ecco le equazioni dei due piani :
$ x-z=0 ; y+z-1=0 $ .

franced

21 ago 2009, 10:03

"Camillo":
Vuol dire che la quadrica è degenere e consiste di due piani.
Per vederlo cerca di arrivare al prodotto delle equazioni di due piani.
Raccogli a fattor comune in modo opportuno :
$x(y+z-1)-z(y+z-1)=0 $ e quindi : $ ( x-z) (y+z-1)=0 $ ed ecco le equazioni dei due piani :
$ x-z=0 ; y+z-1=0 $ .

Ti ho anticipato di qualche secondo...