Verificare che un vettore sia autovettore di una matrice

[phigreco1]

In un problema mi vien data la seguente matrice simmetrica:

$A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))$

E mi si chiede di verificare se esistono valori di $k in RR$ tali che il vettore $(k,k,k)$ sia autovettore di A.

Non sapendo nemmeno da dove iniziare, ho controllato la soluzione e viene effettuata la moltiplicazione tra matrice e vettore (che si rivelerà non essere autovettore di A).

Al di là dell'esercizio. Vorrei capire se le verifiche di questo genere, ossia: "data la matrice verificare che il seguente vettore sia autovettore della matrice ecc ecc.." si facciano tutte in tal modo e perché. Inoltre, il risultato del prodotto matrice-autovettore cosa genera o dovrebbe generare?

[Sk_Anonymous]

"phigreco":
Al di là dell'esercizio. Vorrei capire se le verifiche di questo genere, ossia: "data la matrice verificare che il seguente vettore sia autovettore della matrice ecc ecc.." si facciano tutte in tal modo e perché. Inoltre, il risultato del prodotto matrice-autovettore cosa genera o dovrebbe generare?

Ciao.

In esercizi di questo tipo non si fa altro che sfruttare la definizione di autovalore e autovettore relativi ad una matrice.

Data una matrice $A$ (quadrata), se esistono uno scalare $lambda$ e un vettore $v$ non nullo tali che valga $A*v=lambdav$, allora $lambda$ costituisce un autovalore di $A$ e $v$ un autovettore di $A$.

Nel caso dell'esempio presentato, si ha

$A*v=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))*((k),(k),(k))=((2k),(2k),(k))$

$lambdav=lambda((k),(k),(k))=((lambdak),(lambdak),(lambdak))$

Quindi si tratterebbe di cercare $k!=0$ (l'autovettore è non nullo per definizione) tale che

$((2k),(2k),(k))=((lambdak),(lambdak),(lambdak))$

il che è impossibile.

Saluti.

[phigreco1]

Grazie mille. Sei stato chiarissimo.

Buona giornata.

[Sk_Anonymous]

Ne sono lieto.

Buona giornata anche a te.

Saluti.