Verificare che $B^ninV$
sia dato lo spazio vettoriale $V={XinRR^(3,3)| X=X^t,tr(X)=0,tr(XA)=0}$
dove $A=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
sia $B=((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$
determinare gli interi positivi $n$ per cui $B^ninV$
è un esercizio abbastanza insolito. l'ho provato per $n=0,n=1,n=2$ ma ovviamente non posso provare per tutti gli $n$.dovrei trovare la formula generale.qualche idea?il principio di induzione mi può aiutare?
dove $A=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
sia $B=((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$
determinare gli interi positivi $n$ per cui $B^ninV$
è un esercizio abbastanza insolito. l'ho provato per $n=0,n=1,n=2$ ma ovviamente non posso provare per tutti gli $n$.dovrei trovare la formula generale.qualche idea?il principio di induzione mi può aiutare?
Risposte
1) hai provato a calcolare $BA$? Potresti rimanere sorpreso da quanto vale;
2) credo sia abbastanza semplice dimostrare, per induzione, che
[tex]$B^{2n}=\left(\begin{array}{ccc}
n & 0 & n \\ 0 & 2n & 0\\ n & 0 & n
\end{array}\right)\qquad \qquad B^{2n+1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2n & 0 \\ 2n & 0 & 2n\\ 0 & 2n & 0
\end{array}\right)$[/tex]
In ogni caso il risultato al punto 1) che ti ho suggerito risulta fondamentale.
2) credo sia abbastanza semplice dimostrare, per induzione, che
[tex]$B^{2n}=\left(\begin{array}{ccc}
n & 0 & n \\ 0 & 2n & 0\\ n & 0 & n
\end{array}\right)\qquad \qquad B^{2n+1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2n & 0 \\ 2n & 0 & 2n\\ 0 & 2n & 0
\end{array}\right)$[/tex]
In ogni caso il risultato al punto 1) che ti ho suggerito risulta fondamentale.
si avevo già fatto questo conto:
$BA=B$
ma non capisco come può essermi utile
$BA=B$
ma non capisco come può essermi utile
Bé, è presto detto: affinché $B^n\in V$ deve essere simmetrica, a traccia nulla e tale che
[tex]$\mathrm{tr}(B^n A)=\mathrm{tr}(B^{n-1} BA)=\mathrm{tr}(B^{n-1} B)=\mathrm{tr}(B^n)=0$[/tex]
pertanto bastano le prime due condizioni. A questo punto se dimostri che le potenze di $B$ assumono la forma che ti ho detto, puoi concludere che le potenze di tale matrice appartengono a $V$ solo per esponenti dispari.
[tex]$\mathrm{tr}(B^n A)=\mathrm{tr}(B^{n-1} BA)=\mathrm{tr}(B^{n-1} B)=\mathrm{tr}(B^n)=0$[/tex]
pertanto bastano le prime due condizioni. A questo punto se dimostri che le potenze di $B$ assumono la forma che ti ho detto, puoi concludere che le potenze di tale matrice appartengono a $V$ solo per esponenti dispari.
"ciampax":
Bé, è presto detto: affinché $B^n\in V$ deve essere simmetrica, a traccia nulla e tale che
[tex]$\mathrm{tr}(B^n A)=\mathrm{tr}(B^{n-1} BA)=\mathrm{tr}(B^{n-1} B)=\mathrm{tr}(B^n)=0$[/tex]
pertanto bastano le prime due condizioni. A questo punto se dimostri che le potenze di $B$ assumono la forma che ti ho detto, puoi concludere che le potenze di tale matrice appartengono a $V$ solo per esponenti dispari.
ah ok questo l'ho capito.però il mio problema sta appunto nel determinare la forma generale.cioè ho visto che per $n=1$ si ha $((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$ mentre per $n=2$ si ha $((1,0,1),(0,2,0),(1,0,1))$.non sono andato oltre.però ovviamente non posso ricavare la formula generale solamente calcolandomi $n=1$ ed $n=2$.questo tipo di esercizi purtroppo non li ho mai fatti.è il primo che mi capita
Bé, non è che durante un corso uno può mettersi a spiegare ogni tipo differente di esercizio. Ad un certo punto bisogna anche un po' ragionarci su, tentare e provare. In questo caso, calcolare $B^n$ almeno per $n\le 4$ ti suggerisce quale forma potrebbero avere le matrici. Dopodiché, usando l'induzione, si arriva al risultato che ti ho suggerito. Se ti spaventi perché un esercizio di algebra lineare ti sembra "eccessivo", quando arriverai alle PDE's o alla geometria differenziale ti suiciderai! 
si questo è anche vero.ma se non si è abituati a ragionare su un certo tipo di esercizi stai tranquillo che uno studente può sbatterci su ma se non sa da dove partire può levarci mano.fortunatamente non arriverò mai alla geometria differenziale o alle PDE's.
comunque calcolando fino a $n<=4$ vedo che ottengo una certa ripetizione ma non capisco come posso ottenere la forma generale.cioè supponiamo che fino a $B^100$ la matrice $B$ ha una certa forma che si ripete, chi mi dice che poi per $n=101$ avrò un altra forma?dovrò calcolarmi la forma generale per ogni $ninNN$.ma come fare?
comunque calcolando fino a $n<=4$ vedo che ottengo una certa ripetizione ma non capisco come posso ottenere la forma generale.cioè supponiamo che fino a $B^100$ la matrice $B$ ha una certa forma che si ripete, chi mi dice che poi per $n=101$ avrò un altra forma?dovrò calcolarmi la forma generale per ogni $ninNN$.ma come fare?
"ciampax":
1) hai provato a calcolare $BA$? Potresti rimanere sorpreso da quanto vale;
2) credo sia abbastanza semplice dimostrare, per induzione, che
[tex]$B^{2n}=\left(\begin{array}{ccc}
n & 0 & n \\ 0 & 2n & 0\\ n & 0 & n
\end{array}\right)\qquad \qquad B^{2n+1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2n & 0 \\ 2n & 0 & 2n\\ 0 & 2n & 0
\end{array}\right)$[/tex]
In ogni caso il risultato al punto 1) che ti ho suggerito risulta fondamentale.
Quelle relazioni non vanno bene in generale.
Osserviamo che la matrice $B^ninV$ solamente se $Tr(B^n)=0$
E' facile calcolare $B^3=2B$ e $B^4=2B^2$
Si intuisce che
(*) $B^(2n)=((2^(n-1),0,2^(n-1)),(0,2^n,0),(2^(n-1),0,2^(n-1)))$ con $n>=1$
ovvero $B^(2n)=2^(n-1)B^2$
(**) $B^(2n+1)=((0,2^n,0), (2^n,0,2^n),(0,2^n,0))$ con $n>=1$
ovvero $B^(2n+1)=2^nB$
La base di induzione è evidente per la relazione (*) e (**), infatti per $n=1$ sono vere.
(*) Vediamo la prima relazione,supponiamo verificata l'ipotesi induttiva, quindi vera per $n$:
$B^(2(n+1))=B^(2n+2)=B^(2n)B^2=2^(n-1)B^2B^2= 2^(n-1)B^4= 2^(n-1)2B^2=2^nB^2$
Proprio la relazione $n+1$
(**) Vediamo la seconda relazione, supponiamo verificata l'ipotesi induttiva, quindi vera per $n$:
$B^(2(n+1)+1)=B^(2n+3)=B^(2n+1)B^2=2^nBB^2= 2^nB^3= 2^n2B=2^(n+1)B$
Proprio la relazione $n+1$
Resta provato che in $V$ ci sono solo le matrici del tipo $B^(2n+1)$
"weblan":
La base di induzione è evidente per la relazione (a) e (b)
scusami weblan ma non ne capisco proprio di dimostrazioni!così'è la base di induzione?ed inoltre quale sono le relazioni (a) e (b)?
"mazzy89":
[quote="weblan"]
La base di induzione è evidente per la relazione (a) e (b)
scusami weblan ma non ne capisco proprio di dimostrazioni!così'è la base di induzione?ed inoltre quale sono le relazioni (a) e (b)?[/quote]
Rileggi la nota e risulta più chiara. Non sto quì a spiegarti il principio di induzione, però esso è un strumento che in alcuni casi può risulatare utile per dimostrare alcune relazioni $P(n)$ che dipendono da un numero naturale.
Esempio $P(n)$ è la proprietà che asserisce che la somma dei primi $n$ interi è: $(n(n+1))/2$, ovvero
(*) $1+2+3+..............+n=(n(n+1))/2$
Risulta evidente che $P(1)$ è vera la somma del solo primo intero è $1$. Questa si chiama base di induzione.
Supponiamo vera la proprietà per $n$, cioè la (*). Questa è l'ipotesi induttiva.
Dimostriamo che vale la $P(n+1)$
$1+2+3+...........+n+(n+1)=(n(n+1))/2+(n+1)=(n(n+1)+2(n+1))/2=((n+1)(n+2))/2$
L'ultima proprietà è proprio la $P(n+1)$
Ah, hanno quell'altra forma? Ero andato ad occhio, calcolandole come fossero tensori... devo essermi perso qualche indice! In ogni caso, alla fine risulta che le uniche a traccia nulla sono quelle con esponente dispari, no?
In ogni caso, alla fine risulta che le uniche a traccia nulla sono quelle con esponente dispari, no?
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