Verifica su Nucleo e Immagine
Ciao a tutti, voglio solo che diate un'occhiata a questo esercizio che ho risolto, per verificare (almeno) l'esattezza del procedimento
Per ogni $h\in RR$ sia $F_(Ah)$ l’applicazione lineare determinata dalla matrice :
$A_h = ((2,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,h))$
1) Per quali valori del parametro $h$ risulta $dim(Ker(F_(Ah))) = 1?$ Determinare in questo caso una base per il nucleo dell’omomorfismo.
2) Trovare due vettori distinti di $RR^4$ che abbiamo come immagine $(0,0,6)$ mediante $F_(A3)$.
Il primo punto l'ho svolto così :
In base alla definizione : $dim(V)=dim(Im)+dim(Ker)$ e dato che $dimV = 4$ ,$dim(Im)$ deve essere necessariamente $3$
Ciò significa che devo trovare il rango della matrice $A_h$ al variare del parametro, ma ho trovato che per $\forall$ $h$ la matrice ha sempre rango 3, dunque la $dim(Ker) = 1$ è sempre verificata e una base del nucleo (trovata grazie alla risoluzione del sistema omogeneo) è data da : $(0,0,1,-1)$
Per il secondo punto ho semplicemente svolto il sistema $\{ (2x=0),(x+z=6),(y+3t=6) :}$ dunque due vettori potrebbero essere : $(0,1,6,5/3)$ $(0,2,6,4/3)$
E' tutto giusto?
Per ogni $h\in RR$ sia $F_(Ah)$ l’applicazione lineare determinata dalla matrice :
$A_h = ((2,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,h))$
1) Per quali valori del parametro $h$ risulta $dim(Ker(F_(Ah))) = 1?$ Determinare in questo caso una base per il nucleo dell’omomorfismo.
2) Trovare due vettori distinti di $RR^4$ che abbiamo come immagine $(0,0,6)$ mediante $F_(A3)$.
Il primo punto l'ho svolto così :
In base alla definizione : $dim(V)=dim(Im)+dim(Ker)$ e dato che $dimV = 4$ ,$dim(Im)$ deve essere necessariamente $3$
Ciò significa che devo trovare il rango della matrice $A_h$ al variare del parametro, ma ho trovato che per $\forall$ $h$ la matrice ha sempre rango 3, dunque la $dim(Ker) = 1$ è sempre verificata e una base del nucleo (trovata grazie alla risoluzione del sistema omogeneo) è data da : $(0,0,1,-1)$
Per il secondo punto ho semplicemente svolto il sistema $\{ (2x=0),(x+z=6),(y+3t=6) :}$ dunque due vettori potrebbero essere : $(0,1,6,5/3)$ $(0,2,6,4/3)$
E' tutto giusto?
Risposte
il procedimento si ma i calcoli mi pare di no.
se moltiplichi questo vettore per la matrice non ottieni il vettore nullo (mi sembra) e quindi non può appartenere al nucleo. e poi dove è sparito $h$?
una base potrebbe essere data dal vettore $(0,-h,0,1)$.
l'hai svolto per $(0,6,6)$ mentre la traccia chiede $(0,0,6)$
"Alfiere90":
una base del nucleo (trovata grazie alla risoluzione del sistema omogeneo) è data da : (0,0,1,−1)
se moltiplichi questo vettore per la matrice non ottieni il vettore nullo (mi sembra) e quindi non può appartenere al nucleo. e poi dove è sparito $h$?
una base potrebbe essere data dal vettore $(0,-h,0,1)$.
"Alfiere90":
Per il secondo punto ho semplicemente svolto il sistema
l'hai svolto per $(0,6,6)$ mentre la traccia chiede $(0,0,6)$
"cooper":
se moltiplichi questo vettore per la matrice non ottieni il vettore nullo (mi sembra) e quindi non può appartenere al nucleo. e poi dove è sparito $h$?
Hai ragione, avevo posto $y=1$ e non $t$
"cooper":
l'hai svolto per $(0,6,6)$ mentre la traccia chiede $(0,0,6)$
Sì, qui c'è stata una svista
Grazie anche per il controllo dei calcoli!
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