Verifica su campo vettoriale

[Pigreco2016]

Non riesco a capire come mai il vettore posizione (x,y) spiccato dall'origine (0,0) non può essere considerato un campo vettoriale mentre (-x,-y) spiccato da (x,y) è considerato un campo vettoriale. Qualcuno può farmi un chiarimento?

[Palliit]

Da ignorante, direi che il primo associa ad un unico punto (l'origine) infiniti vettori, il secondo invece ad ogni punto del piano associa un vettore.

[Pigreco2016]

Detto così mi convince dato che un qualsiasi vettore con qualsiasi componente spiccato da un punto fisso non rispetta la definzione di campo vettoriale. La mia domanda però è collegata a qualcosa di più profondo e speravo che mi aiutasse a comprendere tale questione: ho un campo di vettori tangenti su $\mathbb{R}^3$ e considero la proiezione di tale campo su $\mathbb{R}^2$. Considero poi l'applicazione tangente di tale proiezione e vado a vedere come si comporta l'immagine del campo vettoriale definito su $\mathbb{R}^3$ tramite l'applicazione tangente. Ottengo ancora un campo di vettori tangenti su $\mathbb{R}^2$? In questo caso non dovrei ottenere un campo di vettori tangenti di $\mathbb{R}^2$ (per mettersi aria in bocca e basta si potrebbe dire che l'applicazione tangente della proiezione non si comporta come un push-forward)

[Pigreco2016]

Forse mi sono dato una risposta da solo: considero su $\mathbb{R^3}$ il seguente campo di vettori applicato in $(x,y,z)$ $V(x,y,z) = (z,z,z)$. Ne faccio l'immagine tramite l'applicazione tangente e ottengo $V(x,y) = (z,z)$ applicato in $(x,y)$ che non è un campo di vettori perché in ogni punto $(x,y)$ possiamo spiccare tanti vettori $(z,z)$. Sono giusti questi ragionamenti?