Verifica sotto spazi supplementari?
Scusate a tutti, sapete come verifico se 2 sottospazi sono supplementari?
ho una matrice $((t,0,0),(2,3,5),(-2,2,0))$ che è un isomorfimo $ AA !=0 $
Se calcolo il Ker e L'inf di questa matrce relativo a 0 come verifico che il ker e l'inf sono supplementare?
Dovrebbero essere:
$ker_0$ ${(t,t,t) t AA in RR}$
$Inf_0$ ${(2\alpha+3\beta,-2\alpha+2\beta,0) AA \alpha,\beta in RR}$.
Il rango della matrice con $t=0$ è 2 $\Rightarrow$ dimker + dim inf = Rg M giusto?
Comunque se non ricordo male l'intersezione deve essere vuota (errore GRAVE scusate, l'intersezione non è mai vuota ma contiene il vettore nullo)
Un aiutino?
ho una matrice $((t,0,0),(2,3,5),(-2,2,0))$ che è un isomorfimo $ AA !=0 $
Se calcolo il Ker e L'inf di questa matrce relativo a 0 come verifico che il ker e l'inf sono supplementare?
Dovrebbero essere:
$ker_0$ ${(t,t,t) t AA in RR}$
$Inf_0$ ${(2\alpha+3\beta,-2\alpha+2\beta,0) AA \alpha,\beta in RR}$.
Il rango della matrice con $t=0$ è 2 $\Rightarrow$ dimker + dim inf = Rg M giusto?
Comunque se non ricordo male l'intersezione deve essere vuota (errore GRAVE scusate, l'intersezione non è mai vuota ma contiene il vettore nullo)
Un aiutino?
Risposte
ARGH! L'intersezione non è mai vuota. La somma di due sottospazi è diretta se e solo se la loro intersezione si riduce al solo vettore nullo.
Detto questo, basta imporre che un elemento del nucleo appartenga all'immagine e, impostando il sistema (3 equazioni, 3 incognite), si trova subito [tex]t = 0, \alpha = 0, beta = 0[/tex], da cui segue che se un elemento del nucleo appartiene all'immagine, allora è il vettore nullo.
Detto questo, basta imporre che un elemento del nucleo appartenga all'immagine e, impostando il sistema (3 equazioni, 3 incognite), si trova subito [tex]t = 0, \alpha = 0, beta = 0[/tex], da cui segue che se un elemento del nucleo appartiene all'immagine, allora è il vettore nullo.
"maurer":
ARGH! L'intersezione non è mai vuota. La somma di due sottospazi è diretta se e solo se la loro intersezione si riduce al solo vettore nullo.
Detto questo, basta imporre che un elemento del nucleo appartenga all'immagine e, impostando il sistema (3 equazioni, 3 incognite), si trova subito [tex]t = 0, \alpha = 0, beta = 0[/tex], da cui segue che se un elemento del nucleo appartiene all'immagine, allora è il vettore nullo.
Scusa scusa scusa...lo sapevo solo che in quel momemento mi sono distratto...In che senso un elemento del nucleo appartenga all'imagine, e quale sistema devo inpostare?...
Per calcolare l'intersezione di due sottospazi assegnati tramite equazioni cartesiane basta semplicemente risolvere il sistema formato da tutte le equazioni cartesiane messe insieme (è naturale che sia così: se un elemento appartiene all'intersezione allora deve soddisfare le condizioni definenti gli spazi contemporaneamente, i.e. soddisfare il sistema formato dalle varie equazioni).
Tuttavia, se di uno dei due sottospazi conosciamo già l'elemento generico, è molto più comodo richiedere che l'elemento generico soddisfi le equazioni dell'altro sottospazio; oppure se conosciamo l'elemento generico di entrambi, possiamo chiedere che siano uguali (usando però variabili diverse!) e in questo modo ci riduciamo ad un sistema con un numero di equazioni pari alla dimensione dello spazio globale in cui lavoriamo. Nel post precedente ho usato questo metodo e ho risolto il sistema
[tex]\begin{cases} t = 2\alpha + 3\beta \\ t = -2\alpha + 2\beta \\ t = 0\end{cases}[/tex]
che ha determinante diverso da [tex]0[/tex] e quindi solo la soluzione nulla.
Tuttavia, se di uno dei due sottospazi conosciamo già l'elemento generico, è molto più comodo richiedere che l'elemento generico soddisfi le equazioni dell'altro sottospazio; oppure se conosciamo l'elemento generico di entrambi, possiamo chiedere che siano uguali (usando però variabili diverse!) e in questo modo ci riduciamo ad un sistema con un numero di equazioni pari alla dimensione dello spazio globale in cui lavoriamo. Nel post precedente ho usato questo metodo e ho risolto il sistema
[tex]\begin{cases} t = 2\alpha + 3\beta \\ t = -2\alpha + 2\beta \\ t = 0\end{cases}[/tex]
che ha determinante diverso da [tex]0[/tex] e quindi solo la soluzione nulla.
Ho capito,quindi visto che $((t,2a,3b),(t,-2a,-2b),(t,0,0))$ è una matrice di rango 3 i 3 vettori sono linearmente indipendenti e quindi l'unico vettore che è combinazione lineare e il vettore nullo. e quindi i 2 spazi sono supplementari. 
"kiblast":
Ho capito,quindi visto che $((t,2a,3b),(t,-2a,-2b),(t,0,0))$ è una matrice di rango 3 i 3 vettori sono linearmente indipendenti e quindi l'unico vettore che è combinazione lineare e il vettore nullo.
Questa affermazione non è del tutto chiara e forse è in parte sbagliata. La matrice che considero io è
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{matrix} \right)[/tex]
e questa ha rango massimo. Quindi per il teorema di Rouché Capelli il sistema omogeneo ad essa associato ha come unica soluzione il vettore nullo. Pertanto i due spazi sono supplementari.
Sisi giusto, perchè si considera la matrice associata ai coefficienti dei vettori 
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