Verifica se un'applicazione è lineare
F(x) = 2x+5
Dimostrare che non è lineare.
Ho cercato di dimostrare la non linearità verificando che non rispetta le seguenti regole:
1. f(v+v')=f(v)+f(v')
2. f(av) = af(v)
ma ho ottenuto:
$f(ax+bx') = a(2x+5)+b(2x'+5) = af(x)+bf(x')$
e quindi risulterebbe lineare, ma non è così.
Spero in un vostro suggerimento
Dimostrare che non è lineare.
Ho cercato di dimostrare la non linearità verificando che non rispetta le seguenti regole:
1. f(v+v')=f(v)+f(v')
2. f(av) = af(v)
ma ho ottenuto:
$f(ax+bx') = a(2x+5)+b(2x'+5) = af(x)+bf(x')$
e quindi risulterebbe lineare, ma non è così.
Spero in un vostro suggerimento
Risposte
Come mai moltiplicando il vettore avente il termine noto per uno scalare non viene moltiplicato anche lo scalare ?
Inoltre come mai sul mio libro dice che "se si associa ad un polinomio $ a_0+a_1x_1+.....+a_nx_n$ la (n+1)-pla $(a_o,a_1,....,a_n)$ dei suoi coefficienti si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $K[x_1,....,x_n] e K^(n+1)$ " eppure il termine noto compare anche qui e seguendo il ragionamento precedente non dovrebbe essere lineare e quindi non dovrebbe essere un isomorfismo
oppure lo è perche il termine noto è uguale nel dominio e nel codominio dell'applicazione ?
Inoltre come mai sul mio libro dice che "se si associa ad un polinomio $ a_0+a_1x_1+.....+a_nx_n$ la (n+1)-pla $(a_o,a_1,....,a_n)$ dei suoi coefficienti si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $K[x_1,....,x_n] e K^(n+1)$ " eppure il termine noto compare anche qui e seguendo il ragionamento precedente non dovrebbe essere lineare e quindi non dovrebbe essere un isomorfismo
oppure lo è perche il termine noto è uguale nel dominio e nel codominio dell'applicazione ?
Quindi se ho:
$ f(a_0+a_1x_1+a_2x_2) = (a_0,a_1,a_2) $
per dimostrare la linearità faccio le due verifiche
1) f(kv)=kf(v)
quindi ho fatto :
$ f(k(a_0+a_1x_1+a_2x_2))=f(ka_0+ka_1x_1+ka_2x_2)=(ka_0,ka_1,ka_2)=k(a_0,a_1,a_2)=kf(a_0+a_1x_1+a_2x_2) $
2) f(v+v')=f(v)+f(v')
ho impostato la soluzione nel modo seguente ma non mi trovo :
$ f((a_0+a_1x_1+a_2x_2)+(a_0+a_1x'_1+a_2x'_2))=f(2a_0+a_1(x_1+x'_1)+a_2(x_2+x'_2))=(2a_0,a_1,a_2) $
$ f(a_0+a_1x_1+a_2x_2) = (a_0,a_1,a_2) $
per dimostrare la linearità faccio le due verifiche
1) f(kv)=kf(v)
quindi ho fatto :
$ f(k(a_0+a_1x_1+a_2x_2))=f(ka_0+ka_1x_1+ka_2x_2)=(ka_0,ka_1,ka_2)=k(a_0,a_1,a_2)=kf(a_0+a_1x_1+a_2x_2) $
2) f(v+v')=f(v)+f(v')
ho impostato la soluzione nel modo seguente ma non mi trovo :
$ f((a_0+a_1x_1+a_2x_2)+(a_0+a_1x'_1+a_2x'_2))=f(2a_0+a_1(x_1+x'_1)+a_2(x_2+x'_2))=(2a_0,a_1,a_2) $
la funzione che associa al polinomio $a_0+a_1x_1+a_2x_2 $ l'ennupla $ (a_0,a_1,a_2) $ dei suoi coefficienti
ma non riesco a dimostrare la linearità per quanto riguarda la proprietà della somma ossia
f(v+v')=f(v)+f(v')
mentre l'altra proprietà
f(kv)=kf(v) l'ho dimostrata come ho scritto precedentemente
ma non riesco a dimostrare la linearità per quanto riguarda la proprietà della somma ossia
f(v+v')=f(v)+f(v')
mentre l'altra proprietà
f(kv)=kf(v) l'ho dimostrata come ho scritto precedentemente
Sergio innanzitutto ti ringrazio per il grande aiuto che mi stai fornendo 
Ti vorrei chiedere un ultima cosa come mai sul mio libro c'è questo esempio :
L'applicazione $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ data da
$F(x,y)=(x,3y)$
è lineare, infatti soddisfa la condizione di linearità: prendiamo$ a,b\in\mathbb{R}$ e $[x_1,y_1],[x_2,y_2]\in\mathbb{R}^2$ abbiamo che
$F(a[x_1,y_1]+b[x_2,y_2])=F([ax_1+bx_2,ay_1+by_2])= $
$=(ax_1+bx_2,3(ay_1+by_2))=(ax_1+bx_2,3ay_1+3by_2)=$
$=(ax_1,3ay_1)+(bx_2,3by_2)=$
$=a(x_1,3y_1)+b(x_2,3y_2)=aF(x_1,y_1)+bF(x_2,y_2)$
e l'applicazione è lineare
però seguendo il tuo ragione non ha usato due basi diverse?
Ti vorrei chiedere un ultima cosa come mai sul mio libro c'è questo esempio :
L'applicazione $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ data da
$F(x,y)=(x,3y)$
è lineare, infatti soddisfa la condizione di linearità: prendiamo$ a,b\in\mathbb{R}$ e $[x_1,y_1],[x_2,y_2]\in\mathbb{R}^2$ abbiamo che
$F(a[x_1,y_1]+b[x_2,y_2])=F([ax_1+bx_2,ay_1+by_2])= $
$=(ax_1+bx_2,3(ay_1+by_2))=(ax_1+bx_2,3ay_1+3by_2)=$
$=(ax_1,3ay_1)+(bx_2,3by_2)=$
$=a(x_1,3y_1)+b(x_2,3y_2)=aF(x_1,y_1)+bF(x_2,y_2)$
e l'applicazione è lineare
però seguendo il tuo ragione non ha usato due basi diverse?
Grazie mille Sergio, sei stato utilissimo ma soprattutto gentilissimo e chiaro nelle spiegazioni 
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