Verifica se è un sottospazio (polinomi)
Ciao, ho provato a fare una semplice verifica di sottospazio vettoriale ma non so se il mio ragionamento sia giusto.
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado $ <=2 $ il cui generico elemento è indicato come $ p(x) $ determinare se i polinomi che soddisfano la seguente condizione sono un sottospazio vettoriale:
Condizione: $ p(x) + p(-x) = 0 $
1) Esistenza dell'elemento neutro: Il sottoinsieme ammette l' elemento neutro 0 (polinomio nullo) poiché $ p(0) $ con termine noto 0 soddisfa la condizione.
2) Chiuso rispetto al prodotto per scalare: con $ lambda in R $ si ha che $ lambda*p(x)= lambda*-p(-x) -> p(x) = -p(-x) $
3) Chiuso rispetto alla somma: con $ lambda ,mu in R $ e 2 generici polinomi $ p(x), p(tilde(x)) $ appartenenti all'insieme abbiamo
$ lambda*p(x) + mu*p(tilde(x)) = lambda*-p(-x) + mu*-p(tilde(x)) $ e quindi soddisfa la condizione.
Questo ragionamento è giusto?
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado $ <=2 $ il cui generico elemento è indicato come $ p(x) $ determinare se i polinomi che soddisfano la seguente condizione sono un sottospazio vettoriale:
Condizione: $ p(x) + p(-x) = 0 $
1) Esistenza dell'elemento neutro: Il sottoinsieme ammette l' elemento neutro 0 (polinomio nullo) poiché $ p(0) $ con termine noto 0 soddisfa la condizione.
2) Chiuso rispetto al prodotto per scalare: con $ lambda in R $ si ha che $ lambda*p(x)= lambda*-p(-x) -> p(x) = -p(-x) $
3) Chiuso rispetto alla somma: con $ lambda ,mu in R $ e 2 generici polinomi $ p(x), p(tilde(x)) $ appartenenti all'insieme abbiamo
$ lambda*p(x) + mu*p(tilde(x)) = lambda*-p(-x) + mu*-p(tilde(x)) $ e quindi soddisfa la condizione.
Questo ragionamento è giusto?
Risposte
In (2) la freccia che ti serve è quella contraria. Tra l'altro come lo hai scritto è falso: se \(\lambda=0\) l'identità di sinistra è banalmente vera, ma quella di destra potrebbe non esserlo.
Pure in (3) hai pasticciato. La \(x\) è la stessa per tutti, devi considerare due polinomi \(p(x)\) e \(\tilde{p}(x)\).
Pure in (3) hai pasticciato. La \(x\) è la stessa per tutti, devi considerare due polinomi \(p(x)\) e \(\tilde{p}(x)\).
Grazie per la tua risposta. Quindi avendo $ p(x) = -p*(x) -> lambda*p(x) = lambda*-p(-x) $ ho verificato la chiusura rispetto al prodotto per scalare? Correggendo l'errore di notazione che ho fatto nella somma posso dire che quell'insieme è un sottospazio vettoriale?
Il punto (2) lo hai fatto. Per il punto (3), invece, si vede che sei in alto mare, purtroppo. Ripeto il mio suggerimento del post precedente. Devi prendere due polinomi \(p\) e \(\tilde p\) che verificano \(p(x)=-p(-x)\) e \(\tilde p (x)=-\tilde p (-x)\) rispettivamente, e verificare che il polinomio \(q=p+\tilde p\) verifica \(q(x)=q(-x)\).
Grazie ancora per il tuo aiuto. Credo di aver finalmente capito.
Quindi avendo 2 polinomi $ p(x) = -p(-x) $ e $ q(x) = -q(-x) $:
$p(x) + q(x) = r(x) $ e si spera che $r(x) = -r(-x)$, posso dire che $-p(-x) - q(-x) = r(x) $ ovvero $-(p(-x) + q(-x))=r(x)$. Alla fine ho:
$-r(-x) = r(x) $, questo è giusto?
Quindi avendo 2 polinomi $ p(x) = -p(-x) $ e $ q(x) = -q(-x) $:
$p(x) + q(x) = r(x) $ e si spera che $r(x) = -r(-x)$, posso dire che $-p(-x) - q(-x) = r(x) $ ovvero $-(p(-x) + q(-x))=r(x)$. Alla fine ho:
$-r(-x) = r(x) $, questo è giusto?
Mannaggia, quasi, ma ancora no. Hai scritto due volte \(r(x)\) nelle tue equazioni. Da dove hai preso \(r(-x)\)? Calcola esplicitamente \(r(-x)\).
Esplicitamente:
$p(x) = a + bx + cx^2, -p(-x) = -a + bx - cx^2, $
$ q(x) = d + ex + fx^2, -q(-x) = -d + ex - fx^2 $
Quindi: $ a + cx^2 = -a -cx^2 $
$ p(x) + q(x) = (a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 $
Verifichiamo la condizione:
$(a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 = -(a+d) + (b+c)x - (e+f)x^2 $
$ (a+d) + (e+f)x^2= -(a+d) - (e+f)x^2$, analogo a $ a + cx^2 = -a -cx^2 $
E' corretto? Ancora grazie per la pazienza.
$p(x) = a + bx + cx^2, -p(-x) = -a + bx - cx^2, $
$ q(x) = d + ex + fx^2, -q(-x) = -d + ex - fx^2 $
Quindi: $ a + cx^2 = -a -cx^2 $
$ p(x) + q(x) = (a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 $
Verifichiamo la condizione:
$(a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 = -(a+d) + (b+c)x - (e+f)x^2 $
$ (a+d) + (e+f)x^2= -(a+d) - (e+f)x^2$, analogo a $ a + cx^2 = -a -cx^2 $
E' corretto? Ancora grazie per la pazienza.
No, ti stai allontanando. Nota che
\[
r(-x)=p(-x)+q(-x).\]
Adesso ricordati che \(p(-x)=-p(x)\) e che \(q(-x)=-q(x)\) e continua tu.
\[
r(-x)=p(-x)+q(-x).\]
Adesso ricordati che \(p(-x)=-p(x)\) e che \(q(-x)=-q(x)\) e continua tu.
"dissonance":
No, ti stai allontanando. Nota che
\[ r(-x)=p(-x)+q(-x). \]
Ma quello è il raggionamento che ho fatto qua:
"ridley":
$ p(x) + q(x) = r(x) $ e si spera che $ r(x) = -r(-x) $, posso dire che $ -p(-x) - q(-x) = r(x) $ ovvero $ -(p(-x) + q(-x))=r(x) $. Alla fine ho:
$ -r(-x) = r(x) $
E allora lo hai scritto in un modo confuso e non riesco a seguirlo. Da dove esce \(-p(-x)-q(-x)=r(x)\)? E sopratutto, come fai a concludere?
Io lo farei così. Per definizione \(r(x)=p(x)+q(x)\). Quindi \(r(-x)=p(-x)+q(-x)=-p(x)-q(x)=-r(x)\). Fine.
Secondo me è più corto e più chiaro.
[ot]P.S.: Si scrive "ragionamento", con una g sola.[/ot]
Io lo farei così. Per definizione \(r(x)=p(x)+q(x)\). Quindi \(r(-x)=p(-x)+q(-x)=-p(x)-q(x)=-r(x)\). Fine.
Secondo me è più corto e più chiaro.
[ot]P.S.: Si scrive "ragionamento", con una g sola.[/ot]
Grazie mille per tutto, sono riuscito a capire. In quanto all'errore ortografico è stato un lapsus, ho scritto "ragionamento" 2 volte correttamente in questo thread.
Prego. Non ti preoccupare per l'errore ortografico.
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