Verifica prodotto scalare

[CarfRip]

Salve ragazzi,
so che un prodotto scalare, per essere tale, deve essere
1) Bilineare:
$ = +$
$ = +$
2) Simmetrico:
$ = $

Ma se io ho i vettori, ad esempio, nella forma:
$ = 2v_1w_1+2v_1w_4+2v_4w_1-v_2w_3-v_3w_2+2v_4w_4$

Come devo procedere per la verifica? Grazie in anticipo!

[Magma1]

$v,w in RR^4$ ?

[CarfRip]

"Magma":$v,w in RR^4$ ?

Sì perdonami!

[Magma1]

"CarfRip":
$ = 2v_1w_1+2v_1w_4+2v_4w_1-v_2w_3-v_3w_2+2v_4w_4$Come devo procedere per la verifica? Grazie in anticipo!

Essendo la matrice rappresentativa della forma bilineare definita come segue

$M_E(b):=(m_(ij))=(b(e_i,e_j)), qquadAA i,j=1,...,4$

scegliendo la base canonica $mathcalE$ di $RR^4$ si ha

$b(e_1,e_1)=2$
$b(e_1,e_4)=2$
$b(e_4,e_1)=2$
$vdots$

ottenendo così

$M_E(b)=((2,0,0,2),(0,0,-1,0),(0,-1,0,0),(2,0,0,0))$

Pertanto, al forma bilineare può essere scritta nella forma:

$b=b_A: qquad RR^4xxRR^4->RR$

$b(v,w)=(v_1, v_2, v_3, v_4)((2,0,0,2),(0,0,-1,0),(0,-1,0,0),(2,0,0,0))((w_1),(w_2),(w_3),(w_4))$

Inoltre:

$b$ è simmetrica $hArr$ $A$ è simmetrica

$b$ è definita positiva $hArr$ $L_A: qquad RR^4->RR^4$ definita $L_A(v):=Av$ ammette solo autovalori positivi.

[CarfRip]

Grazie mille della risposta!
In realtà la parte di esercizio successiva alla verifica del prodotto scalare (che non ho inserito nel topic) consisteva proprio nel trovare la matrice associata al prodotto, quella che tu hai correttamente riportato come $M_E(b)$ e che, attendendo la tua risposta, avevo trovato anche io! Osservando gli elementi della matrice mi ero reso conto che la soluzione al primo punto (sulla verifica del prodotto scalare) potesse essere raggiunta anche tramite $M_E(b)$, però mi chiedevo:
Visto che in teoria la matrice doveva essere trovata DOPO la verifica, c'è un modo per dimostrare che $$ sia effettivamente un prodotto scalare senza usare $M_E(b)$?
Rinnovo i miei ringraziamenti

[Magma1]

"CarfRip":
Visto che in teoria la matrice doveva essere trovata DOPO la verifica,

Chi l'ha detto questo?

"CarfRip": c'è un modo per dimostrare che $$ sia effettivamente un prodotto scalare senza usare $M_E(b)$?

Sì, ma sarebbero solo calcoli inutili... IMHO

poi ognuno ama farsi del male a modo suo

[CarfRip]

No no infatti, mi sono espresso male, potrei comunque risolvere la verifica con la matrice, mi chiedevo solamente se ci fosse un modo per farlo senza, è solamente una mia curiosità

[Magma1]

Sui libri di testo dovrebbe esserci qualche esercizio svolto o su internet ma, a meno che non sia esplicitamente richiesto, te lo sconsiglio

[CarfRip]

Va bene, ti ringrazio tantissimo

[CarfRip]

"Magma":

poi ognuno ama farsi del male a modo suo

[Magma1]

Questo pdf potrebbe fare al caso tuo!

[CarfRip]

"Magma":Questo pdf potrebbe fare al caso tuo!

Ti ringrazio davvero per la fonte! Molto molto utile
In virtù di quanto riportato nel PDF da te allegato, inserisco per completezza una soluzione diretta e alternativa (senza uso di matrice associata) del problema di partenza:

Dobbiamo verificare che $ = 2v_1w_1+2v_1w_4+2v_4w_1-v_2w_3-v_3w_2+2v_4w_4$ sia un prodotto scalare, quindi dimostrare la bilinearità e la simmetria dello stesso.
Partiamo dalla linearità a sinistra:
Posto $z in RR^4, z = {z_1, z_2, z_3, z_4}$
$bb"" = 2(av_1+bw_1)z_1 + 2(av_1+bw_1)z_4 + 2(av_4+bw_4)z_1 - (av_2+bw_2)z_3 - (av_3+bw_3)z_2 + 2(av_4+bw_4)z_4 = a(2v_1z_1+2v_1z_4+2v_4z_1-v_2z_3-v_3z_2+2v_4z_4) + b(2w_1z_1+2w_1z_4+2w_4z_1-w_2z_3-w_3z_2+2w_4z_4) = bb"a + b"$
Abbiamo dimostrato la linearità a sinistra.
Ora vediamo invece la simmetria:
$bb"" = 2v_1w_1+2v_1w_4+2v_4w_1-v_2w_3-v_3w_2+2v_4w_4 =$
$= 2w_1v_1+2w_1v_4+2w_4v_1-w_2v_3-w_3v_2+2w_4v_4 =$
$= 2w_1v_1+2w_4v_1+2w_1v_4-w_3v_2-w_2v_3+2w_4v_4 = bb""$
Anche la simmetria è stata verificata, possiamo dire che $$ è bilineare simmetrico.

Grazie ancora a Magma per la dritta