Verifica esercizio algebra lineare

[SaraHp1]

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo tipo di esercizi?

Sia A la matrice
(2 -1 -1)
(0 3 0)
(2 2 5)
determinare:
autovalori, autospazi ed eventuale forma diagonale.
Ciao, grazie

[SaraHp1]

Ho fatto cosi':
l'eq caratteristica e'
(2-L -1 -1)
(0 3-L 0)
(2 2 5-L)

da cui trovo che gli autovalori sono
L1=L2=3 ma=2
L3=4 ma=1

per L1=L2=3 ho l'autospazio
(-1 -1 -1) (x)=0
(0 0 0) (y)=0
(2 2 2) (z)=0

trovo che l'autospazio e'
x+y+z=0
base:
(1) (1)
(0) e (1)
(0) (-2)

per L3=4
ho che
(-2 -1 -1)
(0 -1 0)
(2 2 1)

y=0 e 2x+z=0

base:
(1)
(0)
(-2)
la matrice e' diagonalizzabile
e' della forma
(3 0 0)
(0 3 0)
(0 0 4)
la matrice diagonalizzante e' del tipo

(1 1 1)
(0 1 0)
(0 -2 -2)
potreste cortesemente indicarmi se e dove sbaglio?

Ciao, grazie

[_Tipper]

"SaraHp":trovo che l'autospazio e'
x+y+z=0
base:
(1) (1)
(0) e (1)
(0) (-2)

L'equazione cartesiana dell'autospazio va bene, ma la base no, infatti il vettore $((1),(0),(0))$ non appartiene all'autospazio.

Il resto, a parte la matrice diagonalizzante, di cui è errata appunto la prima colonna, va bene.

[SaraHp1]

Scusa Tipper
potresti indicarmi la soluzione ed il procedimento che usi?
Grazie, ciao

[_Tipper]

Se l'autospazio ha equazione cartesiana $x+y+z=0$ si possono usare due parametri liberi: $y=\alpha$ e $z=\beta$, quindi si ottiene $x=-\alpha-\beta$, quindi il generico vettore dell'autospazio considerato si scrive come

$((-\alpha - \beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha((-1),(1),(0)) + \beta ((-1),(0),(1))$

Quindi i vettori $((-1),(1),(0))$ e $((-1),(0),(1))$ formano una base dell'autospazio, e sono le prime due colonne della matrice diagonalizzante.