Verifica dipendenza lineare matrice vettori 2x3
Salve a tutti, ho un dubbio con questo esercizio:
Studiare, al variare di a € R, l'indipendenza lineare dei
vettori:
v1= (1-a, a) v2= (1-a, 0) v3= (0, a)
Ho portato a matrice e ridotto a scala:
$((1-a,1-a,0),(a,0,a))$ e poi $((a,0,a),(0,1-a,-1+a))$
Da qui concludo che per ogni a=0 oppure a=1 i vettori sono linearmente dipendenti poiché ci sarebbe una riga di zeri.
Ora tutti gli altri casi di a porteranno vettori linearmente indipendenti perché nessuna "c" (incognita) nel sistema a matrice a scala è determinabile.
La mia domanda è: se invece un c fosse stato determinabile allora i vettori sarebbero stati linearmente indipendenti dal valore di a? Grazie a tutti...
Studiare, al variare di a € R, l'indipendenza lineare dei
vettori:
v1= (1-a, a) v2= (1-a, 0) v3= (0, a)
Ho portato a matrice e ridotto a scala:
$((1-a,1-a,0),(a,0,a))$ e poi $((a,0,a),(0,1-a,-1+a))$
Da qui concludo che per ogni a=0 oppure a=1 i vettori sono linearmente dipendenti poiché ci sarebbe una riga di zeri.
Ora tutti gli altri casi di a porteranno vettori linearmente indipendenti perché nessuna "c" (incognita) nel sistema a matrice a scala è determinabile.
La mia domanda è: se invece un c fosse stato determinabile allora i vettori sarebbero stati linearmente indipendenti dal valore di a? Grazie a tutti...
Risposte
Mi dispiace ma la tua soluzione non è corretta. Infatti basta notare che hai un sistema di $3$ vettori in $\mathbb{R}^2$ quindi essi saranno sempre linearmente dipendenti tra loro (se non lo fossero formerebbero un sottospazio di dimensione $3$ in $\mathbb{R}^2$, assurdo). Inoltre anche a occhio si vede che per ogni valore di $a$ si ha $v_1=v_2+v_3$.
I vettori sono linearmente dipendenti per ogni valore di $a$.
Detto questo, se vogliamo poi stabilire se spannino un sottospazio di dimensione $2$ o $1$ ($0$ non è possibile in questo caso), costruiamo la matrice come hai detto tu e ne studiamo il rango. Visti i vettori a disposizione non vale la pena fare il passaggio in più di ridurre a gradini, basta costruire la matrice invertendo l'ordine dei vettori:
$A=(v_2,v_3)$ ($v_1$ già lo escludo, so già che è dipendente dagli altri due, sarebbe inutile averlo incluso!!)
Dunque $det A =a(1-a)$. Perciò per $a\ne 0,1$ si ha che i vettori spannano un sottospazio di dimensione $2$. Se $a=0$ o $a=1$ spannano un sottospazio di dimensione $1$.
Paola
Paola
I vettori sono linearmente dipendenti per ogni valore di $a$.
Detto questo, se vogliamo poi stabilire se spannino un sottospazio di dimensione $2$ o $1$ ($0$ non è possibile in questo caso), costruiamo la matrice come hai detto tu e ne studiamo il rango. Visti i vettori a disposizione non vale la pena fare il passaggio in più di ridurre a gradini, basta costruire la matrice invertendo l'ordine dei vettori:
$A=(v_2,v_3)$ ($v_1$ già lo escludo, so già che è dipendente dagli altri due, sarebbe inutile averlo incluso!!)
Dunque $det A =a(1-a)$. Perciò per $a\ne 0,1$ si ha che i vettori spannano un sottospazio di dimensione $2$. Se $a=0$ o $a=1$ spannano un sottospazio di dimensione $1$.
Paola
Paola
Oh mamma mia, credo allora di avere i pensieri un po' confusi...io mi attenevo alla regola "Due equazioni sono tra loro linearmente indipendenti se non e' possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso numero"...inoltre non capisco come facciano a essere dipendenti se la prima è in x1 e x2 e la seconda in x1 e x3...non sono piani differenti?
Le cose che ho detto tornano anche coi tuoi ragionamenti precedenti: una volta stabilito che quei vettori sono SEMPRE linearmente dipendenti, costruisci il sistema che hai fatto tu o la matrice che ho fatto io (è analogo, la matrice che ho fatto io è solo più veloce).
Come vedi anche a te tornano i valori $a=0,1$, ma anche nel tuo caso la conclusione è che se $a$ assume uno di essi ti trovi una riga del sistema completamente nulla. Nel caso della tua matrice, per com'è fatta (ridotta a gradini) questo è l'unico modo affinché le righe siano linearmente dipendenti.
Il fatto di base è che tu stai confondendo la discussione della dipendenza lineare dei tuoi vettori con la discussione della dipendenza lineare delle righe di quella matrice. Sono discorsi legati ma non coincidenti.
La regola "suprema" è : se devi studiare la dipendenza lineare di un sistema di vettori $v_1,...,v_s\in\mathbb{R}^n$ ciò che devi fare è studiare il rango della matrice $A=(v_1 | ...|v_s)$. Il rango corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti e le colonne usate per calcolare il rango saranno proprio un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti estratto dall'insieme originale.
Paola
Come vedi anche a te tornano i valori $a=0,1$, ma anche nel tuo caso la conclusione è che se $a$ assume uno di essi ti trovi una riga del sistema completamente nulla. Nel caso della tua matrice, per com'è fatta (ridotta a gradini) questo è l'unico modo affinché le righe siano linearmente dipendenti.
Il fatto di base è che tu stai confondendo la discussione della dipendenza lineare dei tuoi vettori con la discussione della dipendenza lineare delle righe di quella matrice. Sono discorsi legati ma non coincidenti.
La regola "suprema" è : se devi studiare la dipendenza lineare di un sistema di vettori $v_1,...,v_s\in\mathbb{R}^n$ ciò che devi fare è studiare il rango della matrice $A=(v_1 | ...|v_s)$. Il rango corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti e le colonne usate per calcolare il rango saranno proprio un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti estratto dall'insieme originale.
Paola
Piani? Ma si tratta di vettori !
Conosci la nozione di rango di una matrice?
Conosci la nozione di rango di una matrice?
Ora sì che credo di aver capito...l'ultima cosa che ancora non mi torna: una volta chiarito e capito il perché i vettori sono linearmente indipendenti per ogni valore di a, per ogni a=1,0 (sono ancora gli inizi non ho conoscenze specifiche elevate) cosa porta in concreto in campo vettoriale? (concluso che a=1,0 sono gli unici modi affinché le righe nella matrice siano linearmente indipendenti)
Grazie per l'aiuto e scusa se sembro un po' tardivo nei ragionamenti...
Edit: no scusa nessun piano, mi sono accorto dopo della cretinata che ho scritto, mi si stavano confondendo le idee
Grazie per l'aiuto e scusa se sembro un po' tardivo nei ragionamenti...
Edit: no scusa nessun piano, mi sono accorto dopo della cretinata che ho scritto, mi si stavano confondendo le idee
Sono linearmente DIPENDENTI per ogni valore di $a$.
Poi, in particolare, se $a=0$ o $a=1$ si ha che il sottospazio lineare generato da ${v_1,v_2,v_3}$ ha dimensione $1$. Per $a\ne 0,1$ invece ha dimensione $2$. Questo è quanto di concreto ne deriva... o hai altre domande specifiche?
Paola
Poi, in particolare, se $a=0$ o $a=1$ si ha che il sottospazio lineare generato da ${v_1,v_2,v_3}$ ha dimensione $1$. Per $a\ne 0,1$ invece ha dimensione $2$. Questo è quanto di concreto ne deriva... o hai altre domande specifiche?
Paola
No va benissimo, grazie. Ti sono veramente grato, mi hai chiarito molti punti dove avevo capito fischi per fiaschi! 
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