Verifica di un sottospazio
salve a tutti!il mio problema riguarda la verifica di un sottospazio.mi spiego meglio,il testo mi fornisce questo sottospazio
$V={((a,-2a,11a),(d,-2d,5d),(5/2h,h,7/2h)):a,d,h inRR}$
ed io devo verificare che sia tale.
per fare cio penso che si possano usare due metodi:
1) applicare la definizione quindi verificare che V è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto esterno;
2) cercare le equazioni cartesiane di V e verificare che siano lineari ed omogenee.
io ho preferito cercare le equazioni cartesiane:
$((a,-2a,11a),(d,-2d,5d),(5/2h,h,7/2h),(x,y,z))$
dopo una serie di riduzioni arrivo a questo punto : $((a,-2a,11a),(0,0,-6a),(0,6h,0),(0,y+2x,0))$
cio che adesso mi chiedo è: possibile che y+2x sia l'equazione che cerco??e soprattutto è giusto il procedimento che vorrei svolgere per verificare che si tratta di un sottospazio???
grazie a chiunque mi voglia aiutare!
$V={((a,-2a,11a),(d,-2d,5d),(5/2h,h,7/2h)):a,d,h inRR}$
ed io devo verificare che sia tale.
per fare cio penso che si possano usare due metodi:
1) applicare la definizione quindi verificare che V è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto esterno;
2) cercare le equazioni cartesiane di V e verificare che siano lineari ed omogenee.
io ho preferito cercare le equazioni cartesiane:
$((a,-2a,11a),(d,-2d,5d),(5/2h,h,7/2h),(x,y,z))$
dopo una serie di riduzioni arrivo a questo punto : $((a,-2a,11a),(0,0,-6a),(0,6h,0),(0,y+2x,0))$
cio che adesso mi chiedo è: possibile che y+2x sia l'equazione che cerco??e soprattutto è giusto il procedimento che vorrei svolgere per verificare che si tratta di un sottospazio???
grazie a chiunque mi voglia aiutare!
Risposte
Sinceramente non ti seguo... V è un sottospazio di cosa? Delle matrici 3x3?
si hai ragione non ho specificato...siamo in $RR^(33)$
Ah ok. No, scusa, ma purtroppo non riuscivo proprio a capire.
Venendo al sodo, io penso che non ci sia da fare "niente" - infatti quell'insieme V è definito mediante una equazione parametrica di un sottospazio vettoriale, se ci pensi un attimo. Per dimostrarlo, mi vengono in mente due strade:
1) Scrivi la condizione di appartenenza a V così: $aA+dB+hC$. In pratica, sostituisci ad $(a,d,h)$ i valori $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ rispettivamente. In concreto:
$((a, -2a, 11a),(d, -2d,5d),(5/2h, h, 7/2h))=a((1,-2,11),(0,0,0),(0,0,0))+d((0,0,0),(1,-2,5),(0,0,0))+h((0,0,0), (0,0,0),(5/2,1,7/2))$(*). Così si vede che tutti gli elementi di V sono combinazione lineare delle tre matrici A, B, C. In questa maniera non solo hai dimostrato che V è un sottospazio ma hai anche trovato un sistema di generatori (attenzione: non è detto a priori che sia una base però.)
2) Verifica che l'applicazione $(a,d,h)\mapsto((a, -2a, 11a),(d, -2d,5d),(5/2h, h, 7/2h))$ è lineare (è facile). In questa maniera dimostri che V è l'immagine di una applicazione lineare e perciò è un sottospazio vettoriale.
[edit] Ah e naturalmente resta sempre l'opzione più semplice!
Ovvero verificare direttamente la definizione. Comunque, se ti servono delle equazioni cartesiane del sottospazio, io ti consiglio di ricavarle direttamente dall'equazione parametrica (*). E' più facile e mi sembra più corretto del metodo che stai seguendo tu.
Venendo al sodo, io penso che non ci sia da fare "niente" - infatti quell'insieme V è definito mediante una equazione parametrica di un sottospazio vettoriale, se ci pensi un attimo. Per dimostrarlo, mi vengono in mente due strade:
1) Scrivi la condizione di appartenenza a V così: $aA+dB+hC$. In pratica, sostituisci ad $(a,d,h)$ i valori $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ rispettivamente. In concreto:
$((a, -2a, 11a),(d, -2d,5d),(5/2h, h, 7/2h))=a((1,-2,11),(0,0,0),(0,0,0))+d((0,0,0),(1,-2,5),(0,0,0))+h((0,0,0), (0,0,0),(5/2,1,7/2))$(*). Così si vede che tutti gli elementi di V sono combinazione lineare delle tre matrici A, B, C. In questa maniera non solo hai dimostrato che V è un sottospazio ma hai anche trovato un sistema di generatori (attenzione: non è detto a priori che sia una base però.)
2) Verifica che l'applicazione $(a,d,h)\mapsto((a, -2a, 11a),(d, -2d,5d),(5/2h, h, 7/2h))$ è lineare (è facile). In questa maniera dimostri che V è l'immagine di una applicazione lineare e perciò è un sottospazio vettoriale.
[edit] Ah e naturalmente resta sempre l'opzione più semplice!
Ovvero verificare direttamente la definizione. Comunque, se ti servono delle equazioni cartesiane del sottospazio, io ti consiglio di ricavarle direttamente dall'equazione parametrica (*). E' più facile e mi sembra più corretto del metodo che stai seguendo tu.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo