Verifica di un isomorfismo.
Buonasera,
Verificare che se si associa un polinomio $a_0+a_1x_1+...+a_nx_n$ la $(n+1)$-pla dei suoi coefficienti si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $K[x_1,...,x_n]$ e $K^{n+1}$
Dovrei verificare le seguenti proprietà, per poteri dire che i due spazi vettoriali siano isomorfi
1) $f$ biettiva
2) $f(v+v') = f(v)+f(v')$
3) $f(av)=af(v)$
I punti dove nutro delle incertezze sono due il primo è: devo vedere lo spazio vettoriale $K[x_1,...,x_n]$ come uno spazio contenente le incognite del "" futuro"" polinomio, cioè lo devo immaginare come uno spazio contente le incognite dei rispettivi coefficienti in $K^{n+1}$
Invece il secondo punto è come verificare se si realizza un isomorfismo.Comunque lo provo a risolvere, cosi si possono notare le mie lacune.
Per l'iniettivita ,dovrei prendere due gruppi di incognite in $K$, siano $(x_1,...,x_n)$ e $(x'_1,...,x'_n)$ tali che $(x_1,...,x_n) ne(x'_1,...,x'_n)$, allora anche $f(a_0+a_1x_1,...,a_nx_n) nef(a'_0+a'_1x'_1,...,a'_nx'_n)$.
Qua mi blocco perché non so come procedere, cioè lo suppongo vero quello che ho appena scritto. Perché penso che esistono sicuramente coefficienti tali da rendere vera la seguente relazione
$f(a_0+a_1x_1,...,a_nx_n) nef(a'_0+a'_1x'_1,...,a'_nx'_n)$.
Invece per la suriettività, dovrei prendere una $(n+1)$-pla di coefficienti, tale che esiste un gruppo di incognite $(x_1,...,x_n)$, per cui si verifichi la seguente relazione $a_0+a_1x_1+...+a_nx_n$
Da qui in avanti non procedo, cosi evito di scrivere bufale... anche se penso che ci siano tantissime in questo post.
Cordiali saluti
Verificare che se si associa un polinomio $a_0+a_1x_1+...+a_nx_n$ la $(n+1)$-pla dei suoi coefficienti si realizza un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $K[x_1,...,x_n]$ e $K^{n+1}$
Dovrei verificare le seguenti proprietà, per poteri dire che i due spazi vettoriali siano isomorfi
1) $f$ biettiva
2) $f(v+v') = f(v)+f(v')$
3) $f(av)=af(v)$
I punti dove nutro delle incertezze sono due il primo è: devo vedere lo spazio vettoriale $K[x_1,...,x_n]$ come uno spazio contenente le incognite del "" futuro"" polinomio, cioè lo devo immaginare come uno spazio contente le incognite dei rispettivi coefficienti in $K^{n+1}$
Invece il secondo punto è come verificare se si realizza un isomorfismo.Comunque lo provo a risolvere, cosi si possono notare le mie lacune.
Per l'iniettivita ,dovrei prendere due gruppi di incognite in $K$, siano $(x_1,...,x_n)$ e $(x'_1,...,x'_n)$ tali che $(x_1,...,x_n) ne(x'_1,...,x'_n)$, allora anche $f(a_0+a_1x_1,...,a_nx_n) nef(a'_0+a'_1x'_1,...,a'_nx'_n)$.
Qua mi blocco perché non so come procedere, cioè lo suppongo vero quello che ho appena scritto. Perché penso che esistono sicuramente coefficienti tali da rendere vera la seguente relazione
$f(a_0+a_1x_1,...,a_nx_n) nef(a'_0+a'_1x'_1,...,a'_nx'_n)$.
Invece per la suriettività, dovrei prendere una $(n+1)$-pla di coefficienti, tale che esiste un gruppo di incognite $(x_1,...,x_n)$, per cui si verifichi la seguente relazione $a_0+a_1x_1+...+a_nx_n$
Da qui in avanti non procedo, cosi evito di scrivere bufale... anche se penso che ci siano tantissime in questo post.
Cordiali saluti
Risposte
Ciao, per dimostrare l'iniettività prova a mostrare che $ker(f)=vec0$, poi per il teorema delle dimensioni concludi.
Ciao,
il $ker(f)$ non l'ho fatto ancora, invece per il teorema delle dimensioni intendi il lemma di Steinitz ?
Invece per la suriettività, va bene ?
il $ker(f)$ non l'ho fatto ancora, invece per il teorema delle dimensioni intendi il lemma di Steinitz ?
Invece per la suriettività, va bene ?
Mi pare molto strano, probabilmente è una questione di notazioni: $ker(f)$ è il nucleo dell'applicazione, detto anche spazio nullo. (ker deriva dal tedesco kernel, che significa nucleo).
Teorema delle dimensioni (nullità più rango): $f: V \rarr W$ spazio vett. finitamente generati, con $f$ applicazione lineare. Allora $dim(V)=dim(ker(f)) + dim(Im(f))$.
Nel nostro caso abbiamo: $V=K[x_1,...,x_n]$, $W=K^{n+1}$ e $dim(V)=dim(W)=n$.
Ma se $dim(ker(f))=0$, segue $dim(Im(f))=dim(V)=dim(W)=n$, perciò è pure suriettiva.
Teorema delle dimensioni (nullità più rango): $f: V \rarr W$ spazio vett. finitamente generati, con $f$ applicazione lineare. Allora $dim(V)=dim(ker(f)) + dim(Im(f))$.
Nel nostro caso abbiamo: $V=K[x_1,...,x_n]$, $W=K^{n+1}$ e $dim(V)=dim(W)=n$.
Ma se $dim(ker(f))=0$, segue $dim(Im(f))=dim(V)=dim(W)=n$, perciò è pure suriettiva.
Questo esercizio mi è capitato nella prima pagina degli appunti inerenti alle applicazioni lineari. Ho visto il teorema sulle dimensioni quello che dici tu, ma non ci sono ancora arrivato. Non è che ci sono altri metodi per verificare
Ciao
Ciao
Ok,
per l'iniettività potresti usare la contro-nominale della tua affermazione. Prendi due polinomi, $p(x), q(x) \in K[x_1,...,x_n]$. Supponiamo per fissare le idee $p(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_nx^n$ e $q(x)=b_0 + b_1 x +...+b_m x^m$, $m \leq n$. I rimanenti coefficienti dei termini che vanno da $n-m$ a $n$ sono eventualmente quelli identicamente nulli. Allora se $f(p(x))=f(q(x))$, con $f$ definita come sopra, necessariamente devono coincidere tutti i coefficienti, da cui l'iniettività.
Per la suriettività hai qualche idea?
per l'iniettività potresti usare la contro-nominale della tua affermazione. Prendi due polinomi, $p(x), q(x) \in K[x_1,...,x_n]$. Supponiamo per fissare le idee $p(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_nx^n$ e $q(x)=b_0 + b_1 x +...+b_m x^m$, $m \leq n$. I rimanenti coefficienti dei termini che vanno da $n-m$ a $n$ sono eventualmente quelli identicamente nulli. Allora se $f(p(x))=f(q(x))$, con $f$ definita come sopra, necessariamente devono coincidere tutti i coefficienti, da cui l'iniettività.
Per la suriettività hai qualche idea?
Il mio dubbio è proprio sugli insiemi della funzione, cioè l'insieme di arrivo è costituito da coefficienti ?
Se è cosi anche $y$ dovrebbe essere una $(n+1)$ di coefficienti, anche se mi sembra un po' strano !!
comunque penso che si dovrebbe impostare cosi...
per ogni $y$ appartenente al codominio della funzione, esiste un $x$ tale che $f(x)=y$
Siano $y$, e $p(x)=a_0+a_1x_1+...a_nx_n$. Ora $f(p(x))=y $
Se è cosi anche $y$ dovrebbe essere una $(n+1)$ di coefficienti, anche se mi sembra un po' strano !!
comunque penso che si dovrebbe impostare cosi...
per ogni $y$ appartenente al codominio della funzione, esiste un $x$ tale che $f(x)=y$
Siano $y$, e $p(x)=a_0+a_1x_1+...a_nx_n$. Ora $f(p(x))=y $
La tua funzione $f$ è così definita:
$f: K[x_1,...,x_n] \rarr K^{n+1}$, $p(x)=a_0 + a_1 x + ...+ a_nx^n \mapsto [a_0,a_1,...,a_n]^T$. A un polinomio associ i suoi coefficienti.
Per la suriettività, se prendi una $n+1$-upla di coefficienti a questa è associata un unico polinomio di grado $n$. Tutto chiaro?
$f: K[x_1,...,x_n] \rarr K^{n+1}$, $p(x)=a_0 + a_1 x + ...+ a_nx^n \mapsto [a_0,a_1,...,a_n]^T$. A un polinomio associ i suoi coefficienti.
Per la suriettività, se prendi una $n+1$-upla di coefficienti a questa è associata un unico polinomio di grado $n$. Tutto chiaro?
Volendo fare le cose per benino per mostrare l'iniettività, potresti fare così.
$p(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_px^p$, $q(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_mx^m$. WLOG assumi $p=m=n$.
Supponi per esempio che $f(p(x))=f(q(x))$. Allora $f(p(x)) - f(q(x))= 0$. Perciò abbiamo $f(p(x)) - f(q(x)) = a_0 - b_0 + (a_1 - b_1)x + ... + (a_n - b_n)x^n = 0$. Per essere uguale a $0$ deve aversi $a_0=b_0, ... , a_n=b_n$, da cui segue che i due polinomi coincidono.
$p(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_px^p$, $q(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_mx^m$. WLOG assumi $p=m=n$.
Supponi per esempio che $f(p(x))=f(q(x))$. Allora $f(p(x)) - f(q(x))= 0$. Perciò abbiamo $f(p(x)) - f(q(x)) = a_0 - b_0 + (a_1 - b_1)x + ... + (a_n - b_n)x^n = 0$. Per essere uguale a $0$ deve aversi $a_0=b_0, ... , a_n=b_n$, da cui segue che i due polinomi coincidono.
Si si tutto chiaro. Però mi sorge un dubbio, se abbiamo due polinomi di gradi distinti, dobbiamo procedere come hai detto tu prima, cioè come segue:
Supponendo che abbiamo due polinomi $p(x),q(x) in K[x_1,...,x_n]$ tali che $ ** f(p(x))=f(q(x)) $ rispettivamente con grado $m le n $.
Ora affinché valga la relazione $**$ i coefficienti che vanno da $n-m$ a $m$ devono essere uguali a zero. Cosi otteniamo l'uguaglianza dei coefficienti.
Giusto ?
Supponendo che abbiamo due polinomi $p(x),q(x) in K[x_1,...,x_n]$ tali che $ ** f(p(x))=f(q(x)) $ rispettivamente con grado $m le n $.
Ora affinché valga la relazione $**$ i coefficienti che vanno da $n-m$ a $m$ devono essere uguali a zero. Cosi otteniamo l'uguaglianza dei coefficienti.
Giusto ?
$p(x)=a_0 + a_1 x + ...+a_px^p$, $q(x)=b_0 + b_1 x + ...+b_mx^m$, $p\leq m, p,m\leq n$.
Dalla relazione $f(p(x))=f(q(x))$ otteniamo:
$a_0=b_0$, $a_1=b_1$, $a_{p-m}=b_m$, e perciò deve essere $a_{p-m+1}=0$ for $p-m+1:1:m$ (scritto in sintassi MatLab
). Insomma, poni i coefficienti restanti uguali a $0$.
Dalla relazione $f(p(x))=f(q(x))$ otteniamo:
$a_0=b_0$, $a_1=b_1$, $a_{p-m}=b_m$, e perciò deve essere $a_{p-m+1}=0$ for $p-m+1:1:m$ (scritto in sintassi MatLab
). Insomma, poni i coefficienti restanti uguali a $0$.
Grazie 
Prego.
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