Verifica di sottospazi...
buona sera a tutti mi chiedevo come fa a verificare che il sottospazio $W$ è un sottospazio vettoriale di $RR^4$?
Risposte
ho capito dunque se ad esempio ho $W={(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 |2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0}$ trovo una base di $W$ e combino linearmente i vettori della base con degli scalari e così verifico se $W$ contiene il vettore $(0,0,0)$, se non lo contiene allora non è un sottospazio se invece lo contiene devo verificare la somma e il prodotto... giusto?
No, no, tutto sbagliato. Che significa "trovo una base di $W$" se ancora non sai se $W$ è un sottospazio? Non ha senso parlare di "base" di un insieme che non è un sottospazio vettoriale. Quello è un passo successivo: se sai che $W$ è un sottospazio puoi cercarne una base.
No, invece devi verificare direttamente gli assiomi di sottospazio. Sergio fa degli esempi al riguardo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#333748
Ad esempio, per la somma, prendi due generici vettori $(x_1, x_2, x_3, x_4), (y_1, y_2, y_3, y_4)$ di $W$ e controlla: la loro somma appartiene ancora a $W$?
No, invece devi verificare direttamente gli assiomi di sottospazio. Sergio fa degli esempi al riguardo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#333748
Ad esempio, per la somma, prendi due generici vettori $(x_1, x_2, x_3, x_4), (y_1, y_2, y_3, y_4)$ di $W$ e controlla: la loro somma appartiene ancora a $W$?
no perchè io avevo letto questo pezzo:
"Problema: Determinare se un dato sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V è un sottospazio, cioè se è a sua volta uno spazio vettoriale.
Soluzione: Per prima cosa si verifica se W contiene il vettore nullo (se non lo contiene abbiamo finito: non è un sottospazio), poi si cerca di capire se W comprende tutte le somme di suoi elementi e tutti prodotti di suoi elementi per uno scalare. "....
"Problema: Determinare se un dato sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V è un sottospazio, cioè se è a sua volta uno spazio vettoriale.
Soluzione: Per prima cosa si verifica se W contiene il vettore nullo (se non lo contiene abbiamo finito: non è un sottospazio), poi si cerca di capire se W comprende tutte le somme di suoi elementi e tutti prodotti di suoi elementi per uno scalare. "....
E si, ok. Il problema era che tu parlavi di "base" a sproposito. Adesso prova a verificare gli assiomi di sottospazio.
ok, ma allora come faccio a verificare se contiene il vettore nullo?
Ma per la somma devo prendere dei numeri ad esempio $(1,2,3,4)+(10,9,8,7)=...$ oppure $(x_1,x_2,x_3,x_4)+(y_1,y_2,y_3,y_4)=...$???
Ma per la somma devo prendere dei numeri ad esempio $(1,2,3,4)+(10,9,8,7)=...$ oppure $(x_1,x_2,x_3,x_4)+(y_1,y_2,y_3,y_4)=...$???
$W={(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 |2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0}$
Il vettor nullo appartiene a $W$, si vede subito: $(0,0,0,0)$ verifica le equazioni.
Per la somma devi prendere due generici vettori di $W$,
$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$
e vedere se $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4)$ è ancora un vettore di $W$
Il vettor nullo appartiene a $W$, si vede subito: $(0,0,0,0)$ verifica le equazioni.
Per la somma devi prendere due generici vettori di $W$,
$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$
e vedere se $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4)$ è ancora un vettore di $W$
ho capito!! allora scelgo $x=(1,2,3,0)$ e $y=(2,6,4,7)$ dunque $x+y=(3,8,7,7)$ e se non mi sbaglio appartiene ancora a $W$..
poi per il prodotto devo moltiplicare un vettore per un qualsiasi scalare $lambda$ e dunque: $lambdax=(lambda*x_1,lambda*x_2,lambda*x_3,lambda*x_4)$;
scelgo $lambda=1$ e $x=(1,2,3,0)$ e ottengo:
$lambdax=(1*1,2*1,3*3,0*1)=(1,2,3,0)$ e appartiene a $W$; ho fatto bene?
poi per il prodotto devo moltiplicare un vettore per un qualsiasi scalare $lambda$ e dunque: $lambdax=(lambda*x_1,lambda*x_2,lambda*x_3,lambda*x_4)$;
scelgo $lambda=1$ e $x=(1,2,3,0)$ e ottengo:
$lambdax=(1*1,2*1,3*3,0*1)=(1,2,3,0)$ e appartiene a $W$; ho fatto bene?
No, non si fa in questo modo. Così hai solo dimostrato dei casi particolari. Ti chiedo scusa se non mi sono spiegato bene.
Devi rimanere con i vettori generici. Con le lettere che ho scritto prima, per capirci. Ok?
Devi rimanere con i vettori generici. Con le lettere che ho scritto prima, per capirci. Ok?
ok allora:
-per la somma prendo due generici vettori di $W$
$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$
ora devo far vedere che $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4)$; e dunque è ancora un vettore di $W$... fatto bene?
-per la somma prendo due generici vettori di $W$
$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$
ora devo far vedere che $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4)$; e dunque è ancora un vettore di $W$... fatto bene?
Ma non hai dimostrato nulla 
$W={(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 |2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0}$
Siano $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , $y=(y_1,y_2,y_3,y_4) in W$.
Ciò significa che $ 2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0$ e $2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0$
Ora devi dimostrare che $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4) in W$, cioè devi dimostrare che
$2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$
$W={(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 |2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0}$
Siano $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , $y=(y_1,y_2,y_3,y_4) in W$.
Ciò significa che $ 2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0$ e $2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0$
Ora devi dimostrare che $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4) in W$, cioè devi dimostrare che
$2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$
forse ho capito io ho fatto così: ${(2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=0),((x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0):} rarr$ ${(2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=0),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):} rarr$ sostituisco la seconda nella prima e otteniamo
${(2x_4+2y_4+x_4+y_4=-(x_2+y_2)),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):} rarr$ ${(3(x_4+y_4)=-(x_2+y_2)),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):} rarr $ ${((x_4+y_4)=(-(x_2+y_2))/3),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):}$ vado bene?
${(2x_4+2y_4+x_4+y_4=-(x_2+y_2)),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):} rarr$ ${(3(x_4+y_4)=-(x_2+y_2)),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):} rarr $ ${((x_4+y_4)=(-(x_2+y_2))/3),((x_1+y_1)=(x_4+y_4)):}$ vado bene?
Non tanto. Tu sei partito dalla tesi e hai fatto qualche passaggio algebrico senza peraltro arrivare a molto.
Provo a essere ulteriormente chiaro:
Ipotesi:$ 2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0$ e $2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0$
Tesi: $2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$
Capito ora?
PS: La dimostrazione non è difficile
Provo a essere ulteriormente chiaro:
Ipotesi:$ 2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0$ e $2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0$
Tesi: $2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$
Capito ora?
PS: La dimostrazione non è difficile
devo ricavare le soluzioni dalle ipotesi e poi metterle nella tesi???
@domy: Ma proprio non riesci a ragionare su un oggetto se non lo conosci con nome e cognome? Gi8 non poteva essere più chiaro. Prendi due elementi di $W$, ovvero due quaterne di numeri reali $(x_1, x_2, x_3, x_4), (y_1, y_2, y_3,y_4)$ delle quali sai solo che esse verificano le relazioni caratterizzanti $W$. Domanda: la quaterna somma di queste due verifica ancora le relazioni costituenti $W$? Quando hai preso le due quaterne arbitrarie $(1,2 , 3, 0), (2, 6, 4, 7)$ lo hai saputo verificare. Adesso invece sei andato nel pallone. Ma non è tanto diverso adesso da prima.
Ragiona più che benissimo su queste cose perché è molto grave che tu ti sia incartato così. Qui si parla di calcolo letterale, è una cosa che si impara alle scuole medie, tu hai dei dubbi su questo ed è prioritario che te li tolga prima di continuare gli studi universitari.
Ragiona più che benissimo su queste cose perché è molto grave che tu ti sia incartato così. Qui si parla di calcolo letterale, è una cosa che si impara alle scuole medie, tu hai dei dubbi su questo ed è prioritario che te li tolga prima di continuare gli studi universitari.
Ma non è che non so fare il calcolo letterale non riuscivo a capire come si procedeva ora ho capito, ho le due quaterne generiche: $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ e $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ e le relazioni caratterizzanti del sottospazio $W$: $ 2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0$ ora devo far vedere che:
$ (2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0)+(2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0) rarr $ $ 2x_1+2y_1+x_2+y_2+x_4+y_4=x_1y_1-x_4-y_4=0$ metto in evidenza e ottengo:
$2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$.... vero? scusatemi ma più delle volte mi perdo molto facilmente.....
$ (2x_1+x_2+x_4=x_1-x_4=0)+(2y_1+y_2+y_4=y_1-y_4=0) rarr $ $ 2x_1+2y_1+x_2+y_2+x_4+y_4=x_1y_1-x_4-y_4=0$ metto in evidenza e ottengo:
$2*(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_4+y_4)=(x_1+y_1)-(x_4+y_4)=0$.... vero? scusatemi ma più delle volte mi perdo molto facilmente.....
Salve ragazzi,
ho il seguente spazio vettoriale:
$ W={(a,b) in RR ^2 : a-3b=0} sube RR ^2 $
Ho proceduto nel seguente modo:
1) prima di tutto ho controllato se esiste il vettore nullo, sostituento nell equazione a-3b=0 il vettore con i seguenti componenti (0,0), quindi:
0-3*0=0 SI!, quindi esiste il vettore nullo.
2) Dopodichè, mi sono incimentato a controllare se W è chiuso rispetto alla somma e al prodotto, quindi, prendendo in considerazione la spiegazione di Gi8 , ho ritenuto opportuno prcedere così:
A) SOMMA
prendo due generici vettori di W: $ x={x1,x2}, y={y1,y2} in W $ quindi,
$ x1-3x2=0 e y1-3y2=0 $ ora devo dimostrare che x+y appartenga a W,
$ x+y=(x1+y2,x2+y2) $ cioè,
$ x1+y1-3(x2+y2)=0 $
$ x1+y1-3x2-3y2=0 $
B) PRODOTTO
Ho preso uno scalare qualunque, h, e l'ho moltiplicato per un vettore qualunque $ x={x1,x2} $
quindi, $ hx={hx1, hx2} $
Ho sbagliato qualcosa? oppure va bene come precedimento e ragionamento?
Grazie anticipatamente
ho il seguente spazio vettoriale:
$ W={(a,b) in RR ^2 : a-3b=0} sube RR ^2 $
Ho proceduto nel seguente modo:
1) prima di tutto ho controllato se esiste il vettore nullo, sostituento nell equazione a-3b=0 il vettore con i seguenti componenti (0,0), quindi:
0-3*0=0 SI!, quindi esiste il vettore nullo.
2) Dopodichè, mi sono incimentato a controllare se W è chiuso rispetto alla somma e al prodotto, quindi, prendendo in considerazione la spiegazione di Gi8 , ho ritenuto opportuno prcedere così:
A) SOMMA
prendo due generici vettori di W: $ x={x1,x2}, y={y1,y2} in W $ quindi,
$ x1-3x2=0 e y1-3y2=0 $ ora devo dimostrare che x+y appartenga a W,
$ x+y=(x1+y2,x2+y2) $ cioè,
$ x1+y1-3(x2+y2)=0 $
$ x1+y1-3x2-3y2=0 $
B) PRODOTTO
Ho preso uno scalare qualunque, h, e l'ho moltiplicato per un vettore qualunque $ x={x1,x2} $
quindi, $ hx={hx1, hx2} $
Ho sbagliato qualcosa? oppure va bene come precedimento e ragionamento?
Grazie anticipatamente
Manca la parte finale del prodotto, cioè vedere che $hx_1 -3h x_2 = h(x_1 -3x_2=h*0 = 0$.
A parte questo dettaglio, hai fatto tutto quello che c'era da fare.
Paola
A parte questo dettaglio, hai fatto tutto quello che c'era da fare.
Paola
Paola, in primis, ti ringrazio per avermi risposto.
Volevo avere un chiarimento riguardo al prodotto e alla somma.
1)una volta ricavato $ x1+y1-3x2-3y2=0 $, in base a cosa dico che lo W è chiuso rispetto alla somma?
2)avrei potuto utilizzare due generici vettori, magari scelti da me ad esempio $ x=(1, 3), y=(2,2) $ e poi confrontare?
grazie.
Volevo avere un chiarimento riguardo al prodotto e alla somma.
1)una volta ricavato $ x1+y1-3x2-3y2=0 $, in base a cosa dico che lo W è chiuso rispetto alla somma?
2)avrei potuto utilizzare due generici vettori, magari scelti da me ad esempio $ x=(1, 3), y=(2,2) $ e poi confrontare?
grazie.
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