Verifica della linearità di una funzione
Salve a tutti, ho questa funzione $ f:V^3rarr V^3 $ definita da $ f(u)=(u * u)u $. Come proseguo per dire se è lineare oppure no?...Non riesco effettivamente ad applicare la definizione di funzione lineare ovvero $ f(v+w)=f(v)+f(w) $ ed $f(av)=af(v) $...grazie mille per l'aiuto
Risposte
Visto che sei in un \(\displaystyle \mathbb{V}^{3} \) lo puoi anche mostrare con un esempio.
Preso \(\displaystyle u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \), \(\displaystyle f(au)=\sqrt{a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2} } \cdot au = (\text{se a>0}) \qquad a^2 \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \ne af(u) \)
Preso \(\displaystyle u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \), \(\displaystyle f(au)=\sqrt{a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2} } \cdot au = (\text{se a>0}) \qquad a^2 \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \ne af(u) \)
E nel caso avessi un prodotto vettoriale del tipo $ (u ^^ u)+2k $ sempre in $ V^3 $?
"CarR":
E nel caso avessi un prodotto vettoriale del tipo $ (u ^^ u)+2k $ sempre in $ V^3 $?
Cosa ci devi fare con questo prodotto vettoriale? Devi verificare se è "un'operazione lineare"?
Tra l'altro fai bene attenzione, ché prodotto esterno e prodotto vettoriale in geometria son cose ben distinte (e tu hai utilizzato il simbolo del prodotto esterno appellandolo "prodotto vettoriale").
E' chiaro che siano due cose ben distinte. A scanso di equivoci mi sento di aggiungere che $\wedge$, come simbolo, è usato spesso per indicare anche il prodotto vettoriale.
"Seneca":
[...] A scanso di equivoci mi sento di aggiungere che $\wedge$, come simbolo, è usato spesso per indicare anche il prodotto vettoriale.
Ma solo in fisica, mi risulta, ove le due operazioni coincidono.
Da questo punto di vista ci mise in guardia lo stesso professore di Geometria.
[OT]
Mah, in verità lo si usa anche in Geometria (p.es. in Differential Geometry of Curves and Surfaces di Do Carmo, dal quale ho studiato). Basta mettersi d'accordo sulle notazioni e fare attenzione al contesto.
[\OT]
Mah, in verità lo si usa anche in Geometria (p.es. in Differential Geometry of Curves and Surfaces di Do Carmo, dal quale ho studiato). Basta mettersi d'accordo sulle notazioni e fare attenzione al contesto.
[\OT]
"Seneca":
[...] Basta mettersi d'accordo sulle notazioni e fare attenzione al contesto.
Sì sì, non voglio star qui a polemizzare sulle notazioni.
Scusatemi se ho innescato una discussione sulla simbologia 
ma il mio libro di geometria lo denota così...Comunque si in effetti vorrei sapere come comportarmi nella verifica della linearità di quel prodotto vettoriale $ (u∧u)+2k $ ...grazie ancora a tutti...
ma il mio libro di geometria lo denota così...Comunque si in effetti vorrei sapere come comportarmi nella verifica della linearità di quel prodotto vettoriale $ (u∧u)+2k $ ...grazie ancora a tutti...
Ho provato a risolverlo, il prodotto vettoriale di u per se stesso è nullo, mi resta però 2k che soddisfa le proprietà di linearità...potrebbe essere giusto il procedimento che ho seguito?
"Seneca":
[OT]
Mah, in verità lo si usa anche in Geometria (p.es. in Differential Geometry of Curves and Surfaces di Do Carmo, dal quale ho studiato). Basta mettersi d'accordo sulle notazioni e fare attenzione al contesto.
[\OT]
Scusami Seneca, non ce l'ho con te eh
Ho fatto una piccola verifica, e ne è emerso che quel simbolo si utilizza in Algebra esterna per indicare, come ho già detto, il prodotto esterno. Il concetto di prodotto esterno generalizza quello di prodotto vettoriale e di triplo prodotto scalare, e quindi le due operazioni non combaciano.
"CarR":
Scusatemi se ho innescato una discussione sulla simbologia
No problem, intorno alla simbologia ci si tira sempre un po' i capelli.
"CarR":
Ho provato a risolverlo, il prodotto vettoriale di u per se stesso è nullo, mi resta però 2k che soddisfa le proprietà di linearità...potrebbe essere giusto il procedimento che ho seguito?
Metti per bene per iscritto il procedimento, per favore.
$f(u) = (u ^^ u)+2k $ Considero il generico vettore $ u=(x,y,z) $ . Il prodotto vettoriale è dato dal determinante della matrice $ ( ( i , j , k ),( x , y , z ),( x , y , z )) $ il cui risultato è pari a 0 (basterebbe applicare la proprietà che il prodotto vettoriale tra due vettori uguali è nullo). Mi resta quindi 2k. Ora 2k l'ho inteso come un altro vettore (anche se non ne sono pienamente convinto, potrebbe anche essere la semplice componente k), però mi sono accorto di aver detto una cavolata nel messaggio di prima e sul foglio...benché la proprietà $ f(a2k)=af(2k) $ possa essere verificata, come faccio con la somma???...Secondo me sto sbagliando un bel po' di cose...
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