Verifica dei sottospazi supplementari

[giusi,110]

Verifica che U e W sono supplementari in V , cioè U ⊕ W = V :
V= R2 U= Span ((1, 0)) W = Span ((1, 1))

qui sia lo zero in U che il secondo 1 in W stanno sotto a,rispettivamente , 0 e 1....



ho letto un po' in giro e bisogna dimostrare che U ∩ W = {0} e che U + W = V..

il mio problema è che non so proprio come fare sia l'intersezione perchè non so come fare con lo span..

ps: non so se posso scriverlo qui ma come posso usare i simboli giusti??

grazie spero di ricevere qualche aiuto!

[Riccardo Desimini]

La sintassi per le formule la trovi qui.

Applica le definizioni:

$ U + W = \{ \mathbf{u}+\mathbf{w} \in V : \mathbf{u} \in U, \mathbf{w} \in W \} $
$ U \cap W = \{ \mathbf{v} \in V : \mathbf{v} \in U, W \} $

[giusi,110]

si , se ho per esermpio v=(0, 1) lo so fare, ma è proprio che non so come fare con lo span..

[Riccardo Desimini]

Ti faccio vedere come si fa con il sottospazio $ U + W $.

$ U + W = \{ \mathbf{u}+\mathbf{w} \in V : \mathbf{u} \in U, \mathbf{w} \in W \} $

Scriviamo un'espressione esplicita per $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{w} $:

$ \mathbf{u} = \alpha (1,0) $
$ \mathbf{w} = \beta (1,1) $

Quindi

$ \mathbf{u}+\mathbf{w} = \alpha (1,0) + \beta (1,1) $

Dunque scopriamo che i vettori $ (1,0) $ e $ (1,1) $ generano $ U + W $; essendo anche linearmente indipendenti, essi costituiscono una base di $ U + W $, pertanto $ \dim $ $ U + W = 2 $.

Ora continua tu.

[giusi,110]

quindi poichè span((1 , 0)) ∈ U, quindi è un suo sistema di generatori , e span ((1 , 1)) ∈ W,che è un suo sistema di generatori , la loro intersezione è nulla?

cioè generano la somma, ma non l'intersezione.. ??

[Riccardo Desimini]

Attenzione al lessico.

$ U $ è il sottospazio generato dal vettore $ (1,0) $ e $ W $ è il sottospazio generato dal vettore $ (1,1) $.
Quindi l'insieme $ \{(1,0)\} $ è un sistema di generatori di $ U $ e l'insieme $ \{(1,1)\} $ è un sistema di generatori di $ W $.

È corretto dire che la loro intersezione è $ \{\mathbf{0}\} $, infatti dalla formula di Grassmann ottieni $ \dim $ $ (U+W) $ = $ \dim $ $ U $ + $ \dim $ $ W $.

Alla luce di quanto detto finora, otteniamo i seguenti risultati:

$ \dim $ $ (U+W) $ = $ \dim $ $ V = 2 $, pertanto $ V = U + W $.
$ \dim $ $ (U \cap W) = 0 $, quindi $ V = U \oplus W $ (come volevamo).

[giusi,110]

oooh! ti ringrazio infinitamente! ho un po' di problemi con lo span.. ho letto qui sul forum la definizione e finalmente mi è chiara!

ancora grazie!! (:

grazie grazie!!