Varietà topologiche
Ciao a tutti, le dispense che seguono trattano le varietà topologiche in modo piuttosto spicciolo, quindi ho alcune piccole domande da porvi al riguardo.
La prima forse è banale: quando si parla di superficie topologica, si sta parlando di una varietà localmente omeomorfa a $RR^2$?
Poi, il seguente teorema viene enunciato senza dimostrazione:
Teorema (di Radò) Ogni superficie è triangolabile e ogni superficie compatta ammette una triagolazione finita.
Esiste una dimostrazione abbordabile, oppure non viene riportata perché troppo complessa per uno studente alle prime armi?
Una domanda rapida sulla somma connessa; la relazione di equivalenza è definita, dato un omeomorfismo $h:partialU_xrarrpartialU_y$, salvo identificazioni banali, nel modo seguente:
$x'∼y' hArr x'inpartialU_x, y'inpartialU_y vv y'=h(x')$
Quell' $y'=h(x')$ sta lì perché garantisce un incollamento univoco dei punti che appartengono rispettivamente alla frontiera dell'intorno di $x$ e di $y$?
Infine: quanto è importante da uno a dieci il teorema di classificazione delle superfici compatte?
L'enunciato non è complicato ma mi spaventa un po' la dimostrazione. E' importante conoscerla prima di proseguire?
La prima forse è banale: quando si parla di superficie topologica, si sta parlando di una varietà localmente omeomorfa a $RR^2$?
Poi, il seguente teorema viene enunciato senza dimostrazione:
Teorema (di Radò) Ogni superficie è triangolabile e ogni superficie compatta ammette una triagolazione finita.
Esiste una dimostrazione abbordabile, oppure non viene riportata perché troppo complessa per uno studente alle prime armi?
Una domanda rapida sulla somma connessa; la relazione di equivalenza è definita, dato un omeomorfismo $h:partialU_xrarrpartialU_y$, salvo identificazioni banali, nel modo seguente:
$x'∼y' hArr x'inpartialU_x, y'inpartialU_y vv y'=h(x')$
Quell' $y'=h(x')$ sta lì perché garantisce un incollamento univoco dei punti che appartengono rispettivamente alla frontiera dell'intorno di $x$ e di $y$?
Infine: quanto è importante da uno a dieci il teorema di classificazione delle superfici compatte?
L'enunciato non è complicato ma mi spaventa un po' la dimostrazione. E' importante conoscerla prima di proseguire?
Risposte
i) Si, le superfici topologiche sono varietà di dimensione 2, tuttavia occorre specificare se sono varietà proiettive, reali o complesse, in particolare, se sono complesse diventano omeomorfe a delle 4-varietà reali.
ii) La dimostrazione non è semplicissima, io possiedo un libro di Conway, Burgiel et al. chiamato "The symmetries of things" in cui viene riportata.
iii) La relazione di equivalenza serve per incollare le due varietà lungo una palla di dimensione opportuna.
iv) Dipende da cosa vai a studiare dopo, per esempio se ti interessi di topologia delle dimensioni basse o topologia algebrica in generale, può avere un'importanza molto grande, come anche altri teoremi di classificazione.
ii) La dimostrazione non è semplicissima, io possiedo un libro di Conway, Burgiel et al. chiamato "The symmetries of things" in cui viene riportata.
iii) La relazione di equivalenza serve per incollare le due varietà lungo una palla di dimensione opportuna.
iv) Dipende da cosa vai a studiare dopo, per esempio se ti interessi di topologia delle dimensioni basse o topologia algebrica in generale, può avere un'importanza molto grande, come anche altri teoremi di classificazione.
In funzione di cosa stai studiando, per conoscenza personale o per un esame?
"LLG GKV":
i) Si, le superfici topologiche sono varietà di dimensione 2, tuttavia occorre specificare se sono varietà proiettive, reali o complesse, in particolare, se sono complesse diventano omeomorfe a delle 4-varietà reali.
ii) La dimostrazione non è semplicissima, io possiedo un libro di Conway, Burgiel et al. chiamato "The symmetries of things" in cui viene riportata.
iii) La relazione di equivalenza serve per incollare le due varietà lungo una palla di dimensione opportuna.
iv) Dipende da cosa vai a studiare dopo, per esempio se ti interessi di topologia delle dimensioni basse o topologia algebrica in generale, può avere un'importanza molto grande, come anche altri teoremi di classificazione.
Per la ii), si trova niente in rete? Io non ho avuto successo!
Per la iii) mi riferivo in particolare all'omeomorfismo.
$ x'∼y' hArr x'inpartialU_x, y'inpartialU_y$ mi dice che incollo punti che stanno sul bordo delle palle; cosa mi dice $y'=h(x')$? Che li incollo in un modo specifico che dipende dall'omeomorfismo?
Per la iv), effettivamente avevo intenzione di proseguire presto o tardi con la topologia algebrica. Mi impegnerò a lavorarmi la dimostrazione al rientro dalle vacanze
Ti ringrazio per la risposta! (se non interagisco per qualche tempo, è perché sarò privo di connessione per un po')
"Ernesto01":
In funzione di cosa stai studiando, per conoscenza personale o per un esame?
Studio per interesse personale, ma non escludo un futuro in cui dovrò darla come esame all'università...
Di solito le varietà (differenziali, che comprendono nel caso banale quelle topologiche) vengono studiate in maniera definitiva in un corso successivo, chiamiamolo "geometria differenziale", che viene dopo quello di topologia.
Fossi in te non mi dannerei la vita per queste piccole parentesi e passerei ad altro, sto facendo riferimento anche all'altra discussione dove hai messo il link delle dispense.
PS: Se vuoi qualche link con qualcosa di più esaustivo, fammi sapere
Fossi in te non mi dannerei la vita per queste piccole parentesi e passerei ad altro, sto facendo riferimento anche all'altra discussione dove hai messo il link delle dispense.
PS: Se vuoi qualche link con qualcosa di più esaustivo, fammi sapere
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