Varietà Riemanniane
Ciao a tutti,
ho un problema ad applicare la teoria di geometria differenziale che sto facendo da autodidatta con, ad esempio, quello che ci viene detto in meccanica analitica. Innanzitutto, ho che l'energia cinetica, nel caso di vincoli non dipendenti dal tempo, è una forma quadratica definito sul fibrato tangente ad una varietà. Fin qui ok. E' una forma quadratica che sfrutta la metrica Riemanniana naturalmente definita sulla varietà. Mi è stato detto dal professore che questa metrica discende dal fatto che immergo la varietà in, poniamo, $\mathbb{R}^3$. Io non riesco a crederci. Soprattutto perché non penso che la nozione di immersione sia particolarmente utile in meccanica analitica, anche perché perché quasi sempre si riduce all'inclusione. Dall'Abate-Tovena leggo:
Una metrica Riemanniana su una varietà è un campo tensoriale simmetrico e definito positivo.
Fin qui, tutto ok. Poi però il libro fornisce un modo per costruire metriche riemanniane mediante un prodotto scalare che ha per matrice l'identità e una partizione dell'identità. A questo punto, "ricco" delle informazioni che probabilmente non ho capito fino in fondo, provo a trovare la metrica indotta su una varietà qualsiasi, ad esempio un paraboloide. Sempre nel corso di meccanica analitica ci è stato detto che una tale matrice si costruisce mediante le derivate della carta. Per una carta il cui inverso è:
\[\phi^{-1}(\rho,\theta)=(\rho \cos\theta, \rho\sin\theta,\rho^2)\]
mi viene fuori che, in buona sostanza, la matrice cinetica si può scrivere come:
$ [ ( 1+4\rho^2 , 0 ),( 0 , \rho^2 ) ] $
Effettivamente, se gli do in pasto due vettori della forma $(\dot\rho,\dot\theta)$, ottengo l'energia cinetica attesa . Ho però l'impressione che tale matrice non rispetti la costruzione di metrica riemanniana mediante partizioni dell'unità. Inoltre, la forma quadratica la cui matrice rappresentativa è quella data non prende più "in pasto" due vettori tangenti alla varietà, dato che, in generale, $(\dot\rho (t),\dot\theta (t))$ appartengono al piano tangente $T\mathbb{R}^2$, cioè allo spazio a cui arriva la carta.
Del resto, ha senso definire una derivazione come:
\[X_{p,\gamma}(f)=(f \circ \phi^{-1} \circ \gamma)'(0)\]
con $\gamma(0)=\phi(p)$. Se faccio effettivamente questa derivata, mi appaiono anche le derivate parziali della carta, che so esser state assorbite nella matrice precedente, oltre alle famose $(\dot\rho,\dot\theta)$ (immaginando che $\gamma(t)=(\rho(t),\theta(t))$). Quindi ho paura di aver agglomerato diverse informazioni dentro a quella matrice, chiamandola metrica mentre magari la metrica è solo una parte. Scusate la poca chiarezza o il linguaggio errato, spero il problema sia comprensibile.
ho un problema ad applicare la teoria di geometria differenziale che sto facendo da autodidatta con, ad esempio, quello che ci viene detto in meccanica analitica. Innanzitutto, ho che l'energia cinetica, nel caso di vincoli non dipendenti dal tempo, è una forma quadratica definito sul fibrato tangente ad una varietà. Fin qui ok. E' una forma quadratica che sfrutta la metrica Riemanniana naturalmente definita sulla varietà. Mi è stato detto dal professore che questa metrica discende dal fatto che immergo la varietà in, poniamo, $\mathbb{R}^3$. Io non riesco a crederci. Soprattutto perché non penso che la nozione di immersione sia particolarmente utile in meccanica analitica, anche perché perché quasi sempre si riduce all'inclusione. Dall'Abate-Tovena leggo:
Una metrica Riemanniana su una varietà è un campo tensoriale simmetrico e definito positivo.
Fin qui, tutto ok. Poi però il libro fornisce un modo per costruire metriche riemanniane mediante un prodotto scalare che ha per matrice l'identità e una partizione dell'identità. A questo punto, "ricco" delle informazioni che probabilmente non ho capito fino in fondo, provo a trovare la metrica indotta su una varietà qualsiasi, ad esempio un paraboloide. Sempre nel corso di meccanica analitica ci è stato detto che una tale matrice si costruisce mediante le derivate della carta. Per una carta il cui inverso è:
\[\phi^{-1}(\rho,\theta)=(\rho \cos\theta, \rho\sin\theta,\rho^2)\]
mi viene fuori che, in buona sostanza, la matrice cinetica si può scrivere come:
$ [ ( 1+4\rho^2 , 0 ),( 0 , \rho^2 ) ] $
Effettivamente, se gli do in pasto due vettori della forma $(\dot\rho,\dot\theta)$, ottengo l'energia cinetica attesa . Ho però l'impressione che tale matrice non rispetti la costruzione di metrica riemanniana mediante partizioni dell'unità. Inoltre, la forma quadratica la cui matrice rappresentativa è quella data non prende più "in pasto" due vettori tangenti alla varietà, dato che, in generale, $(\dot\rho (t),\dot\theta (t))$ appartengono al piano tangente $T\mathbb{R}^2$, cioè allo spazio a cui arriva la carta.
Del resto, ha senso definire una derivazione come:
\[X_{p,\gamma}(f)=(f \circ \phi^{-1} \circ \gamma)'(0)\]
con $\gamma(0)=\phi(p)$. Se faccio effettivamente questa derivata, mi appaiono anche le derivate parziali della carta, che so esser state assorbite nella matrice precedente, oltre alle famose $(\dot\rho,\dot\theta)$ (immaginando che $\gamma(t)=(\rho(t),\theta(t))$). Quindi ho paura di aver agglomerato diverse informazioni dentro a quella matrice, chiamandola metrica mentre magari la metrica è solo una parte. Scusate la poca chiarezza o il linguaggio errato, spero il problema sia comprensibile.
Risposte
Ad una stessa varietà è possibile associare diverse metriche. Una metrica è infatti semplicemente una mappa differenziabile \( g \colon TM \times_M TM \to \mathbb R \) la cui restrizione su ogni fibra (spazio tangente ad un punto) \( g_P \colon T_P M \times T_P M \to \mathbb R \) è una forma quadratica non degenere.
Un modo per definire tale metrica è quello di prendere in considerazione una immersione della nostra varietà in un qualche spazio Euclideo e di usare quindi il prodotto scalare in tale spazio. Se \(\varphi\) è la nostra immersione abbiamo che
\[ g_P( v, w ) = \langle d\varphi_P\,v , d\varphi_P\,w \rangle_{\varphi\,P} . \]
Nel caso dell'energia cinetica posso considerare l'immersione in \(\mathbb R^3\) e usare la formula sopra per trasportare la forma quadratica dell'energia cinetica sulla nostra varietà.
Un modo per definire tale metrica è quello di prendere in considerazione una immersione della nostra varietà in un qualche spazio Euclideo e di usare quindi il prodotto scalare in tale spazio. Se \(\varphi\) è la nostra immersione abbiamo che
\[ g_P( v, w ) = \langle d\varphi_P\,v , d\varphi_P\,w \rangle_{\varphi\,P} . \]
Nel caso dell'energia cinetica posso considerare l'immersione in \(\mathbb R^3\) e usare la formula sopra per trasportare la forma quadratica dell'energia cinetica sulla nostra varietà.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo