Varietà lineare congiungente
Buonasera a tutti!
Nello spazio affine $A^2$, considero le rette $r=(P;)$ e $s=(Q;)$. Devo calcolare la dimensione della varietà lineare congiungente $r$ ed $s$, ossia: $text{dim}rvvs$ al variare di $rnns$.
Allo scopo ho distinto i due casi:
1) $rnns!=Ø$;
2) $rnns=Ø$;
Come da suggerimento, all'interno di tali casi distinguo i sottocasi: $!=$ e $ = $, ma come faccio a trarre le conclusioni? Purtroppo non ho alcun esempio e non saprei qual è l'idea da seguire. Inoltre non ho ben chiaro come calcolare numericamente la dimensione.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Nello spazio affine $A^2$, considero le rette $r=(P;
Allo scopo ho distinto i due casi:
1) $rnns!=Ø$;
2) $rnns=Ø$;
Come da suggerimento, all'interno di tali casi distinguo i sottocasi: $
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Illustro brevemente parte dell'esercizio, così come penso di risolverlo... anche se premetto che non mi convince a livello intuitivo.
Si voglia determinare $text{dim}rvvs=text{dim}(+++text{dim} - text{dim}(nn)=2-text{dim}(nn)$.
Si distinguono adesso i due casi detti nel post precedente:
- se $=$, cosa posso dire di $text{dim}(nn)$?
- se $ !=$, cosa posso dire di $text{dim}(nn)$? Istintivamente direi che $text{dim}(nn)=0$ dal momento che le giaciture sono diverse e credo proprio che la loro somma sia diretta. Ma ciò mi sembra in contrasto con la supposizione $rnns!=Ø$.
In attesa di una vostra risposta/correzione al mio ragionamento, vi ringrazio ancora.
P.S.: come da consegna, l'approccio risolutivo deve essere quello ora delineato in quanto credo ci siano altre vie più semplici... però l'esercizio è mirato alla comprensione delle proprietà della varietà lineare congiungente...
Si voglia determinare $text{dim}rvvs=text{dim}(
Si distinguono adesso i due casi detti nel post precedente:
- se $
- se $
In attesa di una vostra risposta/correzione al mio ragionamento, vi ringrazio ancora.
P.S.: come da consegna, l'approccio risolutivo deve essere quello ora delineato in quanto credo ci siano altre vie più semplici... però l'esercizio è mirato alla comprensione delle proprietà della varietà lineare congiungente...
Io partirei dividendo ancora in due casi.
Se $rnns=0$ (pardon non conosco il simbolo dell'insieme vuoto) allora vuol dire che esse sono parallele, quindi $=$ quindi $dim(nn)=1$ e quindi banalmente trovi $rVs$.
Se l'intersezione non è vuota allora abbiamo due casi, o sono incidenti, oppure $r=s$. Ma se $r=s$ in particolare son parallele quindi, per la definizione di parallelismo, $u=lambdav$ da cui ovviamente la dimensione dell'intersezione è $1$. E' rimasto il caso in cui $!=$. Quindi l'intersezione è vuota. Non mi sento di dire che in contraddizione con l'ipotesi, cioè che $rnns$ sia vuota.
Prova a verificare un pò!
Se $rnns=0$ (pardon non conosco il simbolo dell'insieme vuoto) allora vuol dire che esse sono parallele, quindi $
Se l'intersezione non è vuota allora abbiamo due casi, o sono incidenti, oppure $r=s$. Ma se $r=s$ in particolare son parallele quindi, per la definizione di parallelismo, $u=lambdav$ da cui ovviamente la dimensione dell'intersezione è $1$. E' rimasto il caso in cui $
Prova a verificare un pò!
"mistake89":
Ma se $r=s$ in particolare son parallele quindi, per la definizione di parallelismo, $u=lambdav$ da cui ovviamente la dimensione dell'intersezione è $1$. E' rimasto il caso in cui $!=$. Quindi l'intersezione è vuota. Non mi sento di dire che in contraddizione con l'ipotesi, cioè che $rnns$ sia vuota.
Ecco, non mi è chiaro questo passaggio. Se $r∩s≠Ø$ e $r=s$ risulta $
Se invece $
beh se l'intersezione è non vuota, le rette $r$ ed $s$ o si incontrano in un punto, oppure coincidono. Se coincidono vuol dire che sono in particolare parallele (puoi vederlo anche graficamente!). Pensiamo $r(A,u)$ ed $s(B,v)$. Due varietà lineari $A_m,A_n$ sono parallele se e solo per (per definizione) $D(A_m)subD(A_n)$. Quindi nel nostro caso $r||shArrsub$ ma poichè entrambe hanno dimensione $1$ si ha l'uguaglianza, quindi $=$ Ovvero $u$ e $v$ sono proporzionali.
Poi attento: $dim(nn)$ si riferisce agli spazi vettoriali, non alle varietà lineari. Quindi se essa è uguale a $0$ vuol dire che i vettori non sono proporzionali, quindi, per il discorso di sopra, non sono parallele (quindi nemmeno coincidenti!).
Per convincerti di questo ti faccio un piccolo esempio. Poniamoci nel piano affine $A_2$
consideriamo le rette $r:$$x+y=0$ e $s:$$x=2$ esse sono evidentemente incidenti nel punto $P(2,-2)$ ma analizziamo i loro vettori direttori $r(-1,1)$ ed $s(0,1)$
. L'intersezione dei due vettori mi pare sia vuota, ma le rette non hanno intersezione vuota.
Spero di essere stato più chiaro ora.
PS siamo stati un pò imprecisi entrambi però; negli spazi vettoriali intersezione vuota non esiste, avremmo dovuto dire meglio che l'intersezione si limitava al solo vettore nullo.
Poi attento: $dim(
Per convincerti di questo ti faccio un piccolo esempio. Poniamoci nel piano affine $A_2$
consideriamo le rette $r:$$x+y=0$ e $s:$$x=2$ esse sono evidentemente incidenti nel punto $P(2,-2)$ ma analizziamo i loro vettori direttori $r(-1,1)$ ed $s(0,1)$
. L'intersezione dei due vettori mi pare sia vuota, ma le rette non hanno intersezione vuota.
Spero di essere stato più chiaro ora.
PS siamo stati un pò imprecisi entrambi però; negli spazi vettoriali intersezione vuota non esiste, avremmo dovuto dire meglio che l'intersezione si limitava al solo vettore nullo.
Ho chiaro il ragionamento. Però non so come riassumere i dati acquisiti. Ci provo:
1) Se l'intersezione è vuota, risulta $text{dim}rvvs=1+1-1=1$;
2) Se l'intersezione non è vuota, si presentano i due casi esaminati. Però non ho capito come risalire a $text{dim}rvvs$.
Potresti stendermi il ragionamento completo (anche in maniera sintetica) in modo che ho una visione d'insieme? Ho degli esercizi simili e se capisco la logica di fondo di questo vado tranquillo con i successivi.
Ti ringrazio...
1) Se l'intersezione è vuota, risulta $text{dim}rvvs=1+1-1=1$;
2) Se l'intersezione non è vuota, si presentano i due casi esaminati. Però non ho capito come risalire a $text{dim}rvvs$.
Potresti stendermi il ragionamento completo (anche in maniera sintetica) in modo che ho una visione d'insieme? Ho degli esercizi simili e se capisco la logica di fondo di questo vado tranquillo con i successivi.
Ti ringrazio...
Se l'intersezione è non vuota e le rette coincidono, la dimensione dell'intersezione è $1$ per il ragionamento cui al punto 1).
Se l'intersezione è non vuota e le rette sono incidenti, allora la dimensione dell'intersezione è $0$
Almeno secondo il mio ragionamento, che spero non essere errato.
Se qualche altro più esperto volesse confermare o smentire poi, sarebbe meglio
Se l'intersezione è non vuota e le rette sono incidenti, allora la dimensione dell'intersezione è $0$
Almeno secondo il mio ragionamento, che spero non essere errato.
Se qualche altro più esperto volesse confermare o smentire poi, sarebbe meglio
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